|
Lobachevskiy geometriyasidagi asosiy tushunchalar
Lobachevskiy geometriyasi noyevklid geometriyasining yetarli darajada rivojlangan va aniq fanlarning ko‘p sohalarida qo‘llaniladigan bo‘limlaridan biridir. Ammo, o‘zbek tilida bu geometriyaning asosiy tushunchalari bayon etilgan adabiyotlar juda taqchil, masalalar to‘plami esa mutlaqo yo‘q.
Bu bobni yozishdan maqsad Lobachevskiy geometriyasiga oid asosiy tushunchalari imkoni boricha, sodda bayon etish, hamda o‘rganishni osonlashtiruvchi masalalari to‘plamini hosil qilishidir.
Masalalari hal qilish uchun zarur bo‘lgan maʼlumotlar va xossalarni qisqacha berib o‘tamiz. Bunda baʼzi tushunchalar avvalgi bo‘limdagi aytilgan fikirlarningtakrorlanishi ham mumkin.
Lobachevski geometriyasining asosiy tashkil etuvchi aksiomalar yevklid geometriyasining aksiomalaridan paralel aksiomasi bilan farq qiladi. Shuning uchun, Yevklid geometriyasidagi, parpalellik aksiomasiga asoslanmagan har qanday teorema va tushunchalar Lobachevski geometriyasi uchun ham o‘rinliydir.
Maʼlumki, Yevklid geometriyasida, parpalellik aksiomasi quyidagicha:
Aksioma: Berilgan to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan nuqta orqali tekislikda berilgan to‘g‘ri chiziqqa bittadan ortiq parallel to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin emas.
Lobachevski geometriyasida paralellik aksiomasi:
Aksioma: Berilgan to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan nuqta orqali shu to‘g‘ri chiziq bilan kesishmaydigan kamida ikkata to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin.
Bu aksioma ma’nosini tushunish uchun 8.1.1-rasmdan foydalanamiz.
Tekislikda A_1,Q,A_2 nuqtalardan o‘tuvchi l – to‘g‘ri chiziq va bu to‘g‘ri chiziqda yotmagan A – nuqta berilgan bo‘lsin. Aksiomaga ko‘ra, A – nuqtadan l – to‘g‘ri chiziq bilan kesishmaydigan T_1 AT_2 va Q_1 AQ_2 to‘g‘ri chiziqlarni o‘tkazish mumkin. Tekislikdagi to‘g‘ri chiziq xossalaridan foydalanib, ushbu tasdiqni to‘g‘ri ekanini tekshirish mumkin. Berilgan A nuqtadan va T_1 AQ_1 burchak ichidan o‘tuvchi har qanday B_1 AB_2 to‘g‘ri chiziq l – to‘g‘ri chiziq bilan kesishmaydi. Bundan A nuqtadan o‘tuvchi va l to‘g‘ri chiziq bilan kesishmaydigan, cheksiz ko‘p to‘g‘ri chiziq mavjud ekani kelib chiqadi.
Ravshanki, A nuqtadan l to‘g‘ri chiziq bilan kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlar ham o‘tkazish mumkin.
Demak, A nuqtadan l to‘g‘ri chiziq bilan kesishuvchi va kesishmaydigan to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazish mumkin ekan.
Berilgan A nuqtadan o‘tuvchi va l to‘g‘ri chiziq bilan kesishuvchi va kesishmaydigan to‘g‘ri chiziqlar to‘plamini chegaralaydigan to‘g‘ri chiziq l to‘g‘ri chiziqqa parallel to‘g‘ri chiziq deb ataladi.
1.2 teorema. Lobachevskiy tekisligida to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘lmagan nuqta orqali tekislikda berilgan to‘g‘ri chiziqqa parallel ikkita to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin.
Berilgan l to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar AQ to‘g‘ri chiziq Lobachevskiy tekisligini ikki bo‘lakka ajratadi. Bu bo‘laklarning har birida to‘g‘ri chiziqqa parallel to‘g‘ri chiziq mavjud. Parallel to‘g‘ri chiziqning AQ to‘g‘ri chiziq bilan hosil qilgan burchagi parallellik burchagi deb ataladi.
Parallellik burchagining kattaligi A nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofaga teskari proporsional bog‘liqdir. (8.1.2-rasm). Biror A nuqtadan to‘g‘ri chiziqqa parallel qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziqqa nisbatan parallelligini saqlaydi. Xuddi shuningdek, to‘g‘ri chiziq tog‘ri chiziqqa parallel ekanligidan uning aksi to‘g‘ri chiziqning tog‘ri chiziqqaparallelligi kelib chiqadi.
Lobachevskiy geometriyasidagi parallel to‘g‘ri chiziqlarni tasavvur qilish uchun ko‘rsatkichli ва funksiyalarining grafiklari, hamda absissa o‘qini joylashishini ko‘z oldingizga keltiring. (8.1.3-rasm).
Maʼlumki, bu funksiyalar grafiklari uchun o‘qi asimptota bo‘ladi. Bu chizmadan foydalanib, parallel to‘g‘ri chiziqlar uchun quyidagi tasdiqning o‘rinli ekanligini ko‘rish mumkin:
1.3. teorema: Ikki parallel to‘g‘ri chiziqlar orasidagi masofa, nuqta parallellik yo‘nalishi bo‘yicha harakatlanganda nolga intiladi, qarama-qarshi tomonda esa istalgancha katta bo‘lishi mumkin.
Lobachevskiy tekisligidagi kesishmaydigan to‘g‘ri chiziqni tasviri sifatida abscissa o‘qi va y=Achx funksiya grafigini keltirish mumkin. Bunda Oy o‘qi ikkala to‘g‘ri chiziqqa ham perpendikulyar joylashgandir.
1.4. teorema 3: Har qanday kesishmaydigan to‘g‘ri chiziq yagona umumiy perpendikulyarga ega va uning ikki tomonida to‘g‘ri chiziqlar bir-biridan istalgancha uzoqlashadilar.
O‘zaro parallel to‘g‘ri chiziqlar umumiy perpendikulyarga ega emas. Ammo quyidagi tasdiq o‘rinlidir:
1.5. teorema. Agar ikki to‘g‘ri chiziq umumiy perpendikulyarga ega bo‘lsa, ular kesishmaydigan to‘g‘ri chiziqlardir.
1.6. teorema. Parallellik burchagi intervaldagi qiymatlarni qabul qiladi.
Lobachevskiy tekisligining Yevklid tekisligidan muhim farqidan biri:
Do'stlaringiz bilan baham: |
