|
1.4-§. Lobachevskiy geometriyasining Beltrami-Kleyn
interpretatsiyasi
Agar Gilbertning yigirmata aksiomasini o‘zgartirmay qoldirib IV gruppa aksiomasini chiqarib tashlab uning o‘rniga Lobachevskiyning postulati olinsa, u holda Lobachevskiy geometriyasining besh gruppa aksiomasi hosil bo‘ladi. Bu bilan yangi besh gruppa aksiomalar ro‘yxati tuziladi. Yangi gruppa aksiomalarning hammasi bajariladigan asosiy obʼektlar va bular orasida munosabatlarni ifodalovchi sistemani topish mumkinligi maʼlum bo‘ladi. Demak bundan kelib chiqadigan hamma teoremalar o‘rinli bo‘ladi. Beltrami va Kleyn tomonidan taklif qilingan shunday interpretatsiyalardan birini ko‘rib o‘tamiz. Modelni (andazani) quyidagicha tayyorlaymiz:
Buni biz oddiy Yevklid geometriyasining maʼlumotlari asosida yaratamiz, bunda Evklid geometriyasining teoremalari, metodlari va boshqa usullari bizning ixtiyorimizda deb qaraymiz. Ixtiyoriy radius, ixtiyoriy markaz bilan doira chizamiz va Lobachevskiyning tekis geometriyasining quyidagi asosiy obʼektlar kategoriyasini kiritamiz.
1. “Nuqta” – bu doira ichidagi oddiy evklid nuqtasi. Qaralayotgan asosiy doira aylanasidagi va undan tashqaridagi nuqtalarni bu birinchi
kategoriyaga kiritmaymiz.
2. “To‘g‘ri chiziqlar” – bu bizning doiramizdagi vatarlar. Bu erda
“tegishli”, “orasida” terminlar (so‘zlar, iboralar) oddiy maʼnoda tushuniladi.
Biz asosiy aylana ichida turib Yevklid geometriyasining hamma shartlarida turgan bo‘lamiz. Bu esa I va II tekislik gruppa aksiomalarining bajarilishini ko‘rsatadi, yaʼni I1-I3, II1-II4 gruppa aksiomalarni to‘g‘riligini bildiradi. Agar doira o‘rniga sferani ichki nuqtasi bilan olsak, u holda I va II gruppa aksiomalari to‘laligicha (butunligicha) bajariladi. “Kongruyent” (yoki “tenglik”) terminining ahamiyatini konstruktsiya qilinayotgan (interpretatsiya qilinayotgan) model tayyorlash uchun quyidagicha muhokama-mushohada yuritamiz: Bizning konstruktsiya (interpretatsiya)miz va uning Evklid bo‘yicha maʼnosiga qarab UV vatarning chetki nuqtalarini U va V deb qayd etamiz. (2-chizma)
Ushbu birinchi; ikkinchi nisbatlarni topamiz, bunda AB kesma
UV vatarni birinchi nisbatda bo‘ladi va A nuqta AB kesmaning boshi, B nuqta AB kesmaning oxiri. Bu birinchi va ikkinchi nisbatlarning nisbatini tuzamiz:
bu nisat hamma vaqt musbatdir, chunki A va B nuqtalar UV kesmani ichki holatda bo‘ladi. Tuzilgan nisbatning ixtiyoriy tayinlangan asos bilan olingan logarifmni A va B nuqtalar orasidagi “masofa” deb qabul qilamiz. “birlik masshtab”ni ixtiyoriyligini eʼtiborga olish maqsadida yana k ko‘paytuvchi kiritamiz.
Shunday hosil qilingan “masofa” ko‘pincha “noyevklid masofa” deyiladi va
deb belgilanadi. Manfiy yoki musbat ishora UB “to‘g‘ri chiziq”dagi AB “kesma” yo‘nalishiga qarab aniqlanadi. Bu “masofa”ning modulini kesma “uzunligi” yoki uni “noyevklid uzunligi” deb ataymiz. Bunday masofa kongruyentlik aksiomasida kesmalarni, burchaklarni o‘lchashga taʼluqli emasligini qayd etamiz. Agar AB va CD kesmalar “uzunligi” teng bo‘lsa, u holda ularni “kongruyent” deb shartlashib olamiz, yaʼni
Yuqoridagilar asosida hamma gruppa aksiomalarning bajarilishini
tekshirib ko‘rish mumkin.
Lobachevskiy geometriyasiga (tekis geometriyaga, planimetriyasiga)
yasalgan model Beltrami xaritasi deyiladi.
Maʼlumki, inson tasavvuri olimning “chekli” qisminigina qamrash imkonini beradi. Qudratli texnik vositalari bilan foydalanilgan holda ham koinotning chekli qisminigina “ko‘rish” mumkin. Eng zamonaviy astronolik telyeskorlar bir necha milliard yorug‘lik yili masofadagi metogallaktikaning “ko‘ra olish” imkonini beradi.
Koinot cheksiz bo‘lishiga qaramay, biz uning bo‘laginigina o‘rganish imkoniyatiga ega bo‘lamiz. Keltirilgan 8.2.1-rasimda qora rangdagi koinotning ko‘rinmaydigan qismi ifoda etilgan.
Koinotning ko‘rinadigan qismi chegaralangan deb qaralsa, unda Lobachevskiy geometriyasiga o‘rinli bo‘ladi.
Lobachevskiy tekisligi doiraning ichki nuqtalari deb qarasak,vatarlar bu tekislikdagi to‘g‘ri chiziqlarni ifoda etadi. Parallel to‘g‘ri chiziqlar esa, doirani chegaralovchi aylananing bir nuqtasidan chiquvchi vatarlardir. Lobachevskiy geometryasining bu talqini Keli-Kleyn talqini deb yuritiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
