Lobachevskiy geometriyasining puankare va kleyn talqini

1.2-§. Lobachevskiy geometriyasi haqida maʼlumotlar.

Yevklid geometriyasini kosmik masshtabda ko‘rib o‘tishni Lobachevskiy tavsiya qilgan. Buni avvalo Umar Xayyom ko‘rib o‘tgan edi. Kosmik masshtab qarash uchun uchburchak uchlarini Yer, Quyosh va Sirius yulduzlari olingan. Lobacheviskiy geometriyasi modelini mashhur fransuz matematigi Jyul Anri Puankare (1854–1912) 1882 yilda yaratdi va uni quyidagicha bayon qildi: Yevklid geometriyasini olamiz va unda gorizontal

a to‘g‘ri chiziqni o‘tkazamiz, u tekislikni ikkita yarim tekislikka ajratadi. Yuqori yarim tekislik nuqtalarini noyevklid nuqtalari (to‘g‘ri chiziq nuqtalari bunga kirmaydi) deb ataymiz. Noyevklid to‘g‘ri chiziqlar deb esa markazlari a to‘g‘ri chiziqda yotuvchi yarim aylanalarni ataymiz. Noyevklid to‘g‘ri chiziqlarga a to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar nurlarni ham kiritamiz
Bundan oldinroq, 1871 yilda nemis matematigi Feliks Xristian Kleyn (1849–1925) proyektiv metrika g‘oyasi asosida Lobacheviskiy geometriyasi tavsifini bergan edi. U o‘zining geometrik tadqiqotlarini 1872 yilda nashr qilingan “Yangi geometrik tadqiqotlarga taqqoslama nazar” (Erlangen dasturi) asarida har qanday geometriya almashtirishlar maxsus guruppasining invariatlar nazariyasi bo‘lib hisoblanishini ko‘rsatadi. Gruppani kengaytirib yoki qisqartirib, bir turdagi geometriyadan ikkinchi turdagi geometriyaga o‘tish mumkin. Yevklid geometriyasi – metrik gruppalarning invariantlari haqidagi fan; proyektiv geometriya proyektiv gruppalarning invariantlari haqidagi fandir. Almashtirishlar gruppasini sinflarga ajratish, geometriyalarni sinflarga ajratishga olib keladi. Har bir gruppalarning algebraik va differensial invariantlari nazariyasi geometriyaning analitik tuzilishini beradi. Keyinchalik Kleyn Yevklid geometriyasining modelini proyektiv metrika orqali tuzish mumkinligini ko‘rsatadi. Bunda u ingliz matematigi Artur Keli (1821–1895) 1859 yilda kiritgan proyektiv metrika tushunchasiga asoslandi. Lobacheviskiy, agar real fazo Yevklid geometriyasi qonunlariga bo‘ysunmasa, u holda kosmosda uchburchak burchaklarining yig‘indisi 180° dan kichik, deb faraz qildi. U fazoning noyevklidligiga ishonar edi. Agar olam o‘lchovlarining bizga ko‘rinarli qismini qisqartirgan holda qarasak, u holda Lobacheviskiy geometriyasi o‘rinli bo‘ladi. 1863 yilda italyan matematigi eujenio Beltrami (1835 – 1900) va nemis matematigi Bernxard Riman (1826 – 1866) yangi geometriya tavsifi bo‘yicha katta ishlar qildilar. Beltrami, sirtida Lobachevskiy geometriyasi bajariladigan real jismlar mavjudligini ko‘rsatdi. U o‘zgarmas manfiy egrilikka ega bo‘lgan sirtlarda (psevdosfera) noyevklid geometriyasi bajarlishini isbotladi, shuningdek, Lobachevskiy geometriyasi mantiqiy qarama-qarshiliksiz ekanligini ko‘rsatdi.