|
1.3. t a ʼ r i f . Harakat deb tekislik nuqtalari to‘plamining o‘z-o‘ziga shunday akslanishiga aytiladiki, unda har bir AB kesma, o‘ziga kongruyent bo‘lgan AʼBʼ kesmaga almashinadi. (5-chizma)
Shunday qilib, “harakatʼʼ kongruyentlik orqali aniqlandi; Gilbert sistemasida “harakat” hosilaviy tushunchadir. Bundan so‘ng kongruyentlik aksiomalaridan foydalanib, “harakat” ning xossalarini ifodalovchi bir necha teoremani isbotlash mumkin. Bu teoremalarning baʼzilarini keltiraylik.
1°. Harakat har qanday to‘g‘ri chiziqni to‘g‘ri chiziqqa almashtiradi.
2°. Harakat kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlarni kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlarga, parallellarni yana parallellarga almashtiradi.
3°. Nurlarni harakat yana nurlarga almashtiradi.
4°. Burchakning ichki sohasi yana burchakning ichki sohasiga almashinadi. Bulardan so‘ng harakat turlarini taʼriflash mumkin. Agar O nuqta o‘zining O׳ obrazi bilan birlashsa, yaʼni O nuqta o‘z o‘rnida qolsa, harakat O nuqta atrofida aylantirish deb ataladi. Agar biror harakat natijasida hamma nuqtalar o‘z o‘rnida qolsa, u ham aylantirishdir.
Agar harakat natijasida:
1) biror a to‘g‘ri chiziqning har bir A nuqtasi shu a to‘g‘ri chiziqning biror A’ nuqtasiga almashinsa,
2) α tekislikning a to‘g‘ri chiziqdan bir tarafda yotgan har bir nuqtasi, yana o‘sha tarafda qolsa, biz bu harakatni parallel ko‘chirish yoki siljitish deb ataymiz. Hamma nuqtalarni o‘z o‘rnida qoldirgan harakatni istalgan to‘g‘ri chiziq bo‘ylab siljitish yoki istalgan nuqta atrofida aylantirish qatoriga kiritish mumkin.
Agar harakat natijasida:
1) biror a to‘g‘ri chiziqning har bir A nuqtasi o‘z o‘rnida qolsa,
2) α tekislikning har bir nuqtasi a to‘g‘ri chiziqning ikkinchi tarafidagi nuqtaga almashinsa, bunday harakat simmetriya deb ataladi.
Birin-ketin bajarilgan ikki harakatning natijasini, bir bor bajarilgan harakat bilan ham hosil qilish mumkin.
Agar α tekislikning ixtiyoriy nuqtasini M bilan belgilasak, birinchi harakat M nuqtani M’ ga, ikkinchi harakat M’ nuqtani M" ga almashtiradi. Natijada α tekislikning hamma nuqtalarini shunday almashtirish yuzaga keladiki, uning oqibatida ixtiyoriy M nuqta M" nuqtaga almashinadi. Keyingi bu almashtirish, albatta, harakatdir. Hosil qilingan harakat oldingi ikki harakatning ko‘paytmasi deyiladi.
Shunday qilib, juda muhim t e o r e m a hosil qilindi: ikki harakatning ko‘paytmasi harakatdir.
Harakatlardan iborat ko‘paytuvchilarning t a r t i b i muhim rolni o‘ynaydi. Har bir harakat, ikki simmetriya va sonni bittadan oshmagan siljitishni ko‘paytirish natiasida hosil qilinishi mumkin. Biz buning isbotiga to‘xtamaymiz.
α tekislikning hamma nuqtalarini o‘z o‘rnida qoldirgan almashtirishning harakatdan iboratligini biz bilamiz. Bunday harakat aynan harakat deb ataladi; harakatlarni ko‘paytirishda u “birlik" rolini o‘ynaydi.
Agar harakat ixtiyoriy M nuqtani M’ nuqtaga o‘tkazsa, M’ nuqtalarni o‘z o‘rniga qaytaruvchi almashtirish vujudga keladi. Bu almashtirish ham harakatdan iboratdir, chunki u o‘zaro birqiymatli bo‘lib, istalgan kesmani unga kongruyent kesmaga o‘tkazadi. Bu oxirgi harakat dastlabkiga nisbatan teskari deyiladi. Harakat bilan unga teskari harakatning ko‘paytmasi, aynan harakatga teng bo‘lib, ko‘paytuvchilar tartibiga bog‘liq emasdir; bunday harakatlar o‘zaro teskari deyiladi.
Tekislikning o‘z-o‘zi bo‘ylab qilgan harakatlarining xossalarini
yakunlaylik.
1°. Ikki harakat ko‘paytmasi yana harakatdir.
2°. Barcha harakatlar to‘plami ichida aynan harakat bordir.
3°. Har bir harakat uchun teskari harakat mavjuddir.
Agar elementlarning biror to‘plamini, masalan, α tekislik nuqtalarini o‘z-o‘ziga o‘zaro birqiymatli almashtirishlarning to‘plami, yuqoridagi uchta xossani qanoatlantirsa, ular gruppani tashkil qiladi deb aytamiz. Masalan, α tekislikning markazi O nuqtada bo‘lgan hamma gomotetik almashtirishlari gruppani tashkil qiladi, chunki:
1°. Markazi O dan iborat ikki gomotetiya ko‘paytmasi, markazi o‘sha O nuqtada bo‘lgan gomotetiyadir.
2°. α tekislikning aynan almashtirishi, (o‘xshashlik koyefitsiyenti birga teng) O markazli gomotetiyadir.
3°. O markazli har qanday gomotetiya uchun teskari gomotetiya mavjuddir.
Markazi berilgan nuqtadan iborat barcha gomotetiyalar to‘plami garchi gruppani tashkil qilsa-da, ular harakatlardan iborat emasdir. Biz harakat tushunchasini kongruyentlik tushunchasi orqali aniqladik, ammo aksincha, yaʼni kongruyentlikni harakat orqali aniqlash ham mumkin.
Aksiomalarning uchinchi gruppasi: harakat aksiomalari.
A s o s i y t u shu n c h a : harakat.
III’1. Harakatlar tekislikni o‘z-o‘ziga akslatishlarning gruppasini tashkil qiladi.
III’2. Har bir harakat natijasida kesma yana kesmaga almashinadi.
III’3. Ixtiyoriy ravishda berilgan bo‘lsin: O va O׳ nuqtalar, OA va O’A’ nurlar; bu nurlarning har biri α tekislikni ikkita yarim tekislikka bo‘ladi, ana shu yarim tekisliklardan bittadan olib, ularni p va p’ bilan belgilaylik. Faqat bitta shunday harakat borki, u ayni zamonda O nuqtani O’ nuqtaga, OA nurni O’A’ nurga va r yarim tekislikni p’ yarim tekislikka almashtiradi.
Bu aksiomalar quyidagilarni isbotlashga imkon beradi:
1) har qanday harakat to‘g‘ri chiziqni yana to‘g‘ri chiziqqa, 2) burchakni burchakka, 3) uchburchakni uchburchakka almashtiradi va h. k. Buning ketidan kongruyentlikni taʼriflash mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: |
