Lobachevskiy geometriyasining puankare va kleyn talqini

1.4. taʼrif. Ikki kesma, ikki burchak, ikki uchburchak va α tekislikdagi umuman ikki figurani bir-biriga o‘tkazadigan harakat mavjud bo‘lsa, ular kongruyent deb ataladi. Harakat aksiomalariga asoslanib kongruyentlikka berilgan bu taʼrifdan so‘ng, Gilbert aksiomatikasidagi uchinchi gruppa aksiomalarini isbotlash mumkin; demak yangi aksiomatikada bu aksiomalar teoremalarga aylanadi.
Aksiomalarning to‘rtinchi gruppasi: parallellar aksiomasi.
IV. ( E v k l i d a k s i o m a s i ) . Agar a ixtiyoriy to‘g‘ri chiziq va A unda yotmagan nuqta bo‘lsa, u holda A nuqta va a to‘g‘ri chiziq bilan aniqlanuvchi tekislikda A nuqtadan o‘tib, a to‘g‘ri chiziq bilan kesishmaydigan to‘g‘ri chiziqlar bittadan oshiq emasdir.
1.5. taʼrif. Oldingi muhokama va evklid aksiomasiga asosan a to‘g‘ri chiziq va A nuqta bilan aniqlangan tekislikka A dan o‘tib a bilan kesishmaydigan faqat bitta to‘g‘ri chiziqning borligini bilib olamiz. Uni biz A nuqtadan o‘tib, a ga parallel to‘g‘ri chiziq deb ataymiz.
Aksiomalarning beshinchi gruppasi: uzluksizlik aksiomalari.
V1. (O‘lchash aksiomasi, yoki Arximed aksiomasi). AB va CD ixtiyoriy ikki kesma bo‘lsin; u holda AB to‘g‘ri chiziqda chekli sonli shunday nuqtalar mavjudki, kesmalar CD kesmaga kongruyent va B nuqta A bilan orasida yotadi (6-chizma).


6-chizma

Bu — Lejandrning birinchi teoremasini isbotlash vaqtida ishlatilgan

A r x i m e d - E v d o k s aksiomasidir: agar kesmaga kongruyent CD kesma AB ga butun son marta “joylashsa“, aksiomaning shartlarini qanoatlantirish uchun, yana bir, ikki, uch,... “qadam” qo‘yish mumkin.
Bu grupparing ikkinchi aksiomasini keltirish oldidan, ushbu teoremani isbotsiz keltiraylik.
1.1. teorema. (To‘rt nuqtaning bir to‘g‘ri chiziqqa joylashish tartibi haqidagi teoremani umumlashtiradi). Chekli sonda olingan nuqtalar to‘g‘ri chiziqda qanday joylashsa-da, ularni A, B, C, D, E, …, K harflar bilan shunday tartibda belgilash mumkinki, B harfi bilan belgilangan nuqta bir yoqdan. A ikkinchi yoqdan C, D, E, ..., K nuqtalar orasida yotadi; C bilan belgilangan nuqta bir yoqdan A, B nuqtalar va ikkinchi yoqdan D, E,..., K nuqtalar orasida yotadi; D—bir yoqdan A, B, C va ikkinchi yoqdan E,…, K orasida yotadi va h.k.
Bu tariqada belgilash usulidan tashqari shu xossaga ega bo‘lgan teskari ta r t i b d a belgilash usuligina bordir: K,..., E, D, C, B, A.
V2. (To‘g‘ri chiziqda mukammallik aksiomasi). To‘g‘ri chiziqning nuqtalari shunday sistemani tashkil qiladiki, u sistemani chiziqli tartibni saqlash (Teorema) sharti bilan birga, kongruyentlik aksiomalarining birinchisini va
Arximed aksiomasini (yaʼni I1-I2; II; III1; V1 aksiomalarni) buzmasdan turib, kengaytirish mumkin emasdir, yaʼni oldingi sistemaga, avvalgi va kengaytirish natijasida qo‘shilgan nuqtalardan tuzilgan yangi sistemada keltirilgan aksiomalarning hammasining bajarilish sharti bilan, yangi nuqtalar qo‘shish mumkin emas.
Bu aksioma uzundan-uzun bo‘lib, undagi tushunchalarni hatto odatlanib kelgan narsalarimiz, yaʼni “nuqtalar”, “to‘g‘ri chiziqlar” ni odatdagi nuqtalar, to‘g‘ri chiziqlar deb tushunsakda, baribir, bu aksiomaning ifodalanishi juda og‘ir, uni darrov tushunib bo‘lmaydi. Bu aksiomaning ifodasida oldingi aksiomalarning qariyb hammasi, va hatto “Teorema” ham ishtirok etadi.