Lobachevskiy geometriyasining puankare va kleyn talqini

I BOB.
LOBACHEVSKIY GEOMETRIYASINING PUANKARE VA KLEYN TALQINI

Ushbu bob mavzuni to‘la bayon qilishimiz uchun foydalanishimiz zarur bo‘lgan asosiy tushunchalar va ularning taʼriflariga bag‘ishlangan bo‘lib, unda mavzuga oid tarixiy maʼlumotlar, faktlar va bir qator nazariy maʼlumotlar keltirib o‘tilgan. Qolaversa mavzuni talaba yoshlar va tadqiqotchilarga yetkazishda o‘zimiz uchun eng qulay bo‘lgan o‘qitish usuli sifatida “almashtirib o‘qitish” usulini tanladik. Ushbu usuldan ko‘plab xorijiy davlatlarning bir qator mashxur universitetlarining professor-o‘qituvchilari foydalanib keladi. Bu usulning mazmuni quyidagicha:

-darslarda o‘tilishi zarur bo‘lgan xar bir mavzu avvaldan talabalarga beriladi;
-xar bir mavzuga doir nazariy, amaliy, elektron ishlanmalar, taqdimot yoki video darslar tayyorlanadi;
-tayorlangan barcha maʼlumotlar talabalarning virtual auditoriyasi kutubxonasiga joylashtiriladi va talabalardan ushbu maʼlumotlar bo‘yicha darsga tayyorlanib kelish talab qilinadi;
-dars vaqtida talabalar tayyorlanib kelgan mavzu o‘qituvchi tomonidan qayta ochib beriladi va muammoli vaziyat yoki mavzu yuzasidan qo‘shimcha maʼlumotlar beriladi.
Ushbu usulning foydali taraflari bu talabalarni mustaqil ishlashga o‘rgatadi, auditoriya vaqtini rejalashtirishni optimallashtiradi, auditoriya soatida ko‘plab qo‘shimcha maʼlumotlar yoki amaliy ishlarni ko‘rib chiqishga erishiladi. Bu jixatdan o‘qitishning kredit tizimi asoslariga to‘laligicha mos keladi. Qolaversa masofaviy o‘qitish tizimida ham aynan shunday usullardan foydalaniladi.
Yuqoridagi fikrlarga asosan ushbu bob ko‘plab nazariy maʼlumotlar bilan boyitildi, keyingi boblarda mavzu bo‘yicha olib borilayotgan tadqiqot ishlarini boshlang‘ich qismlari ko‘rsatib o‘tildi.

1.1-§. Lobachevskiy geometriyasiga tarixiy nazar.

Geometriyani aksomatik qurilishi tizimli ravishda eramizdan avvalgi III asrda Yevklidning “Negizlar” asari orqali kiritilgan edi. Eramizdan avvalgi ikkinchi asrgacha evklidning o‘n uch tomlik “Negizlar” asari asosida geometriyaning aksiomatik qurilishi o‘z nihoyasiga yetgan edi. Amaliy ehtiyojojlar natijasida hosil qilinan burchakni, uzunlik va yuzani o‘lchash izchil matematik nazariyalar aksioma, postulot, teorema, taʼrif va isbotlar yordamida o‘z tasdig‘ini topdi. Geometriyaning asosiy elementlari nuqta, to‘g‘ri chiziq va tekislik tushunchalari yuzaga chiqdi, [8].

Shu davrdagi inson amaliy ehtiyojlari uchun foydalaniladigan tushunchalar abstract qiyofasini topgan edi. Bu yerda cheksiz uzoqlikdagi to‘g‘ri chiziq qanday ifodaga ega bo‘ladi degan savol mavjud emas edi. Balkim shuning uchun parallellik haqidagi V postulot Yevklid tomonidan juda ehtiyotlik bilan bayon etilgandir: agar to‘g‘ri chiziq ikki to‘g‘ri chiziqni kesib o‘tsa, bu to‘g‘ri chiziqlar ichki bir tomonli burchaklari yig‘indisi ikkita to‘g‘ri burchak yig‘indisidan kichik bo‘lgan tarafda kesishadi.
Qadimgilar yerni juda katta o‘lchamdagi (o‘lchashning hech iloji bo‘lmagan) tekis disk sifatida tasavvur etishgan. Geografik kashfiyotlar natijasida bu chegara masofalar yanada uzoqlashdi. Tevarak atrofdagi borliq haqidagi bilimlarning oshib borishi bilan geometriya ham taraqqiy eta boshladi.
Evklidning parallellar haqidagi mashhur postulotini teorema sifatida qabul qilib isbotlashga bo‘lgan urinishlar, postulotga teskari jumlani qabul qilib undan xulosa chiqarishga bo‘lgan harakatlar noyevklid geometriyalarni yaratilishiga olib keldi, [9].
Noyevklid geometriyaning paydo bo‘lishida sharq mamlakatlarning mutafakirlari Arabistonlik al-Jauxari (IX asr), Bog‘dodlik Sabit ibn Korra (IXasr), eron matematigi Abul Abbos al-Fadla Ibn Xatima (Samarqand, Buxoro, Isroil, Marv), an-Nayriziy (X asr), Umar Xayyom (XI asr, 1048-1131), Marog‘alik (Ozarbayjon) Muxiddin al-Mag‘ribi (XIII asr), Ibn Sino (980-1037), Misrlik Ibn al-Xaysam (965-1039), Xusam ad-Din as-Samr (XIII asr), Ozarbayjon Nasir ad-Din Tusi (XIII asr) va boshqalar asos soldilar. Jumladan Markaziy Osiyo mutafakiri Umar Xayyom, Ibn Sino va boshqalarning faoliytidagi geometriyaga doir ilmiy ishlari muhim ahamiyatga ega bo‘ldi va ular asos soluvchi bo‘ldilar. Jumladan, N. I. Lobachevskiy noyevklid geometriyani yaratishda Umar Xayyomning bashoratlariga (gipotezalariga) asoslandi deb tasdiqlay olamiz. Chunki Umar Xayyom o‘z faoliyatida: “Uchburchakning ichki burchaklar yig‘indis 180° dan kata bo‘la olmaydi” deb bashorat qilgan edi. Keyinchalik bu bashorat (gipoteza) N.I.Lobachevskiy tomonidan yaratilgan geometriyada “Uchburchakning ichki burchaklar yig‘indisi 180° dan kichik” deb tasdiqlandi va bu asosiy teoremalardan biri bo‘lib qoldi, [14].
N.I.Lobachevskiy 1792 yil 2 dekabrda Nijniy Novgorod (hozirgi Gorkiy shaxrida) to‘g‘ilgan. U Qozon universiteti qoshidagi gimnaziyani, undan keyin Qozon universitetini bitirib, shu yerda o‘qituvchi bo‘lib ishga qoldirilgan. U 1816 yilda professor, 1827 yildan 1846 yilgacha shu universitetning rektori bo‘lib ishlagan. N. I. Lobachevskiy 1856 yil 24 fevralda vafot etgan.
N. I. Lobachevskiy shu universitetda ishlagandan boshlab V postulatni isbotlashga qattiq harakat qilgan. U safdoshlarining urinishlari samaraisizligi, V postulatni isbotlash uchun avvalgi postulatlardan foydalanish yetarli emas degan xulosaga kelgan. Buni isbotlash uchun Yevklidning asosiy yo‘nalishlarini saqlagan holda, V postulatni rad qilib, uni teskarisiga almashtirib, mantiqiy tizimni qurdi. Bu mantiqiy sxema yangi geometriyani, Yevklid geometriyasi kabi muvofaqqiyatlarga olib keladi degan xulosaga kelgan.
N.I.Lobachevskiy 1826 yil 7 fevralda Qozon universitetining fizika-matematika fakultetiga uzining “Geometriya qoidalari haqida” degan maʼruzasini topshirgan. 1829 yilda “Geometriyaning boshlanishi haqida” degan maqolasini “Qozon universiteti olimlarining ishlari” turkumiga kiritgan. Bu esa uning yangi geometriya haqida eng birinchi ishi edi. Keyingi yillarda N.I.Lobachevskiy geometriya haqida ko‘p ishlarni o‘rgandi. Bu ishlarida u V postulatni Yevklidning qolgan aksiomalaridan keltirib chiqarib bo‘lmaydi deb asoslagan va aniq taʼrif bergan, [9].
Lobachevskiy o‘zining geometriyasini tekislikda va fazoda trigonometrik formulalarni kiritgan holda takomillashtirgan. Bu geometriyani u “hayoliy geometriya” deb atagan.
Yangi-yangi dalillarni ochishda Lobachevskiy o‘zining geometriyasida mantiqiy qarama-qarshilikni uchratmadi. Bu geometriyani hech qachon qarama-qarshiliklarga olib kelmasligini ko‘rsatishni xoxlagan Lobachevskiy uzining geomeriyasida analitik tekshirishlar olib boradi va zidsizlik muammosini hal qiladi.
Lobachevskiyning deyarli barcha zamondoshlari uning geometriyasi xatolikka ega deb hisoblashar edi. Ular nafaqat bu geometriyaning tashqi olamda qo‘llanilmasligi, balki bu geometriyaning keyingi rivojlanishi davomida o‘z-o‘zida ichki qarama-qarshilik kelib chiqadi deb hisobashgan. Masalan, o‘sha murakkab bo‘lgan davrda matematik Ostrogradskiy (shogirdlari bilan birgalikda) tushunmaganlar va natijada Lobachevskiyning bu kashfiyotiga manfiy taqriz bergan. O‘sha davr matematilaridan Gauss esa ikkilanib turgan, yaʼni Lobachevskiy noyevklid geometriyasining kashfiyoti haqida biror fikr aytishda o‘zini chetga olgan. Parallellar nazariyasini va Lobachevskiyning noyevklid geometriyasini tushunish murakkabligidan Laplas, Lagranj, Bunyakovskiylar ham chekindilar va o‘zlarini chetga oldilar. Bular parallel chiziqlar nazariyasi bilan ham shug‘ullangan edilar. Keyinchalik A.Puankare, F.Kleyn, Beltramilar Lobachevskiy geometriyasining interpretatsiyalarini berganlaridan so‘ng bu kashfiyot hammaga tushunarli bo‘ldi. Lobachevskiy geometriyasiyasini tushunib tasavvur qilish uchun evklid geometriyasini va undagi tushuncha-taʼriflarni, aksiomalarni, ayrim maʼlumotlarni bilishimiz lozim, shu nuqtai nazardan bu yerda shularning baʼzilari keltirildi, [14].