Lobachevskiy geometriyasining puankare va kleyn talqini

1.1.-taʼrif. Biror a to‘g‘ri chiziqda A va B dan iborat ikki nuqtani olaylik. A va B dan iborat ikki nuqta sistemasini


1-chizma
AB yoki BA kesma deb ataymiz: A bilan B orasida yotuvchi nuqtalarni — AB kesmaning nuqtalari, yoki AB kesma ichida yotuvchi nuqtalar deb ataymiz; A bilan B esa — AB kesmaning chetlari, uchlari deyiladi. To‘g‘ri chiziqning qolgan hamma nuqtalarini AB kesmadan tashqarida yotuvchi nuqtalar deymiz.
Bu gruppadagi shu uchta aksioma (II1-II3) ikkinchi gruppaning chiziqli aksiomalari deyiladi. Quyidagi aksioma (II4) tekislikdagi tartib aksiomalaridan hisoblanadi.
1.2 taʼrif. Bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan A, B, C nuqtalar sistemasi ABC uchburchak deb ataladi.
II4. ( P a sh a k s i o m a s i ) . Bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan uchta A, B, C nuqta va ABC tekislikda yotgan hamda A, B, C nuqtalarning hech biridan o‘tmagan a to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsin (2-chizma),

2-chizma
agar a to‘g‘ri chiziq AB kesma nuqtalarining biridan o‘tsa, u holda a to‘g‘ri chiziq yoki AC kesma nuqtalarining biridan yoki BC kesma nuqtalarining biridan o‘tadi.
Aksiomalarning uchinchi gruppasi: kongruyentlik va harakat aksiomalari.
Asosiy tushuncha: “kongruyent” yoki “teng”.
III1. Agar A, B — a to‘g‘ri chiziqning ikki nuqtasi, va A’ — shu to‘g‘ri chiziq yoki boshqa a’ to‘g‘ri chiziq nuqtasi bo‘lsa, u holda a’ to‘g‘ri chiziqda A’ nuqtadan berilgan tomonda yotuvchi bittagina shunday B’ nuqtani hamisha topish mumkinki, AB kesma A’B’ kesmaga kongruyent (teng) bo‘ladi. Bu aksioma kesmalarni qo‘yaborish imkoniyatini beradi. Kesmalarning kongruyentligi shunday belgilanadi: AB≡A’B’.


3-chizma
III2. Agar A’B’ kesma va A"B" kesma uchinchi AB kesmaga kongruyent bo‘lsa, A’B’ kesma A"B" kesmaga ham kongruyentdir; qisqaroq: agar ikki kesma uchinchi kesmaga kongruyent bo‘lsa, ular bir-biriga kongruyentdir. Istalgan kesmaning o‘z-o‘ziga kongruyentligini bu ikki (III1; III2) aksiomaga suyanib isbotlash mumkin.
III3. Faraz etaylik, AB va BC—a to‘g‘ri chiziqning umumiy ichki nuqtalarga ega bo‘lmagan ikki kesmasi bo‘lsin; A’B’ va B’C’ esa, o‘sha to‘g‘ri chiziq yoki boshqa a’ to‘g‘ri chiziqning yana umumiy nuqtalarga ega bo‘lmagan ikki kesmalari bo‘lsin (4-chizma), agar bunda AB≡A’B’ va BC≡B’C’ bo‘lsa, u holda AC≡A’C’ bo‘ladi.
III4. α tekislikda <(h, k) burchak va α׳ tekislikda a’ to‘g‘ri chiziq va α ׳tekislikning a’ ga nasbatan belgili bir tarafi berilgan bo‘lsin. a’ to‘g‘ri chiziqning Ο׳ nuqtasidan chiquvchi nuri h’ bo‘lsin. U holda α’ tekislikda faqat bitta shunday h’ nur mavjudki, <(h, k) burchak <(h’,k’) burchakka kongruyent (teng) dir va shu bilan birga, <(h’,k’), burchakning ichki nuqtalari a’ dan yuqorida ko‘rsatilgan tarafda yotadi.


5-chizma