Lobachevskiy geometriyasining puankare va kleyn talqini

1.7. teorema. Uchburchak ichki burchaklari yig‘indisi 〖180〗^0 dan


II BOB
INVARIANTLAR NAZARIYASI KURSINI LOBACHEVSKIY GEOMETRIYASIGA TADBIQI

Ushbu bobga kirish maʼnosida avvalgi bobning 1.1-paragrafida bayon qilingan, F.X.Kleyn tomonidan aytib o‘tilgan uyidagi fikrni keltirib o‘tamiz: har qanday geometriya almashtirishlar maxsus guruppasining invariatlar nazariyasi bo‘lib hisoblanishini ko‘rsatadi. Gruppani kengaytirib yoki qisqartirib, bir turdagi geometriyadan ikkinchi turdagi geometriyaga o‘tish mumkin. Yevklid geometriyasi – metrik gruppalarning invariantlari haqidagi fan; proyektiv geometriya proyektiv gruppalarning invariantlari haqidagi fandir. Almashtirishlar gruppasini sinflarga ajratish, geometriyalarni sinflarga ajratishga olib keladi. Har bir gruppalarning algebraik va differensial invariantlari nazariyasi geometriyaning analitik tuzilishini beradi.

Ushbu fikrlarga tayangan holda psevdoyevklid fazosining psevdoortogonal almashtirishi va unga nisbatan yo‘llarning (chiziqlarning) ekvivalentlik (kongruyentlik) masalasi, shuningdek undan olingan natijalarni Lobachevskiy geometriyasida berilgan yo‘llarni kasr chiziqli almashtirishlarga nisbatan ekvivalent bo‘lish masalasiga tadbiqi haqida so‘z yuritamiz. Taʼbiyki bu masalalar ishimizni amaliy qismini tavsiflaydi.

2.1-§. Psevdoortogonal fazoda berilgan yo‘llar va ularning ekvivalentligi

Soddalik uchun ikki o‘lchovli psevdoyevklid fazosi, yaʼni Minskovskiy tekisligi geometriyasi bilan tanishamiz.

Agar tekislikda biror dekart koordinatalar sistemasi kiritilgan bo‘lsa, tekislikdagi har birnuqta o‘zining bir juft sondan iborat koordinatalariga ega bo‘ladi. Aytaylik, p tekislikda 0 x u dekart koordinatalar sistemasi kiritilgan bo‘lib, va bo‘lsin. Endi bilan 0х o‘qi bo‘yicha yo‘nalgan, bilan 0u o‘qi bo‘yicha yo‘nalgan vektorlarni olamiz Bu vektorlar kolleniar emas, shuning uchun ularni tekislikda bazis vektorlar sifatida qabul qilish mumkin. Endi bu bazis vektorlardan ushbu shartlarni qanoat qanoatlantirishini talab etamiz:
, (1)

Maʼlumki, tekislikdagi har qanday vektor bazislar yordamida chiziqli ifadalanadi va vektorlarning chiziqli ifodasi ushbu shaklda bo‘ladi:

,

Agar vektorning vektorga ko‘paytmasini algebraik usullarda hisoblab chiqsak,

Demak, vektorlar uchun qo‘yilgan (1) talabni eʼtiborga olsak,

(2)

Tenglikni hosil qilamiz. Hosil qilingan bu (2) tenglikni vektorlarning skalyar ko‘paytmasi deb ataymiz va shaklda belgilaymiz, bu yerda

Maʼlumki, skalyar ko‘paytma psevdoortogonal gruppa taʼsiriga nisbatan invariant, yaʼni .

Bu ko‘rinishda aniqlangan fazoni ko‘rinishida belgilaymiz.

ikki o‘lchovli haqiqiy, psevdoyevklid fazosi bo‘lsin. V fazo elementlarini 2-o‘lchovli , bu yerda ustun vektorlar ko‘rinishida tasvirlaymiz. V fazoda quyidagi ko‘rinishdagi bichiziqli formani qaraymiz
(3)

bu yerda , . orqali V fazoning barcha teskarilanuvchi almashtirishlar gruppasini belgilaymiz. GL(2,R) gruppaning (3) chiziqli formani o‘zida saqlovchi chiziqli almashtirishlari qismgruppasi ikki o‘lchovli psevdoortogonal almashtirishlar gruppasi deyiladi va O(1,1) ko‘rinishda belgilanadi, yaʼni

(4)

bu yerda x,y∈V. Boshqacha aytganda har qanday g∈O(1,1) matritsa uchun

shart o‘rinli, bu yerda J matritsa quyidagi ko‘rinishda aniqlanadi

(5)

GL(2,R) gruppaning V fazoga taʼsiri sifatida g matritsani ustun vektorga chapdan taʼbiy ko‘paytmasini qaraymiz, yaʼni .

Quyida I orqali R maydonning (a,b) intervalini belgilaymiz, (bu holda, a=-∞ yoki b=+∞ bo‘lishi mumkin).
V fazoda aniqlangan I-yo‘l deb shunday ,, vektor funksiyaga aytiladiki, uning barcha koordinatalari cheksiz marta uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalarni ifodalaydi.
I- yo‘lni r-tartibli hosilasi deb,
vektor funksiyaga aytiladi, bu yerda funksiyani r-tartibli hosilasi,j=1,2 r=1,2,3,… . Aniqki, x_j^((r)) (t) vektor-funksiya r parametrning barcha qiymatlari uchun I-yo‘lni ifodalaydi
Agar ixtiyoriy t∈I uchun x ⃗^((1) ) (t)≔x'(t)≠0 shart o‘rinli bo‘lsa, x ⃗(t) I-yo‘l regulyar deyiladi (q.ng.[*] 1.6 §).
Xar qanday x ⃗(t)={x_j (t)}_(j=1)^2 I-yo‘l uchun M(x ⃗)(t) orqali 2×2
tartibli 〖(x_i^((j-1)) (t))〗_(i,j=1)^2 matritsani belgilaymiz, bu yerda j- ustun x_i^((j-1)) (t) ko‘rinishidagi koordinatalarga ega bo‘lib x_i^((0)) (t)=x_i (t),i,j=1,2.
M'(x ⃗)(t) orqali 〖(x_i^((j)) (t))〗_(i,j=1)^2 matritsani belgilaymiz. Agar barcha t∈I uchun detM(x ⃗)(t) determinant noldan farqli bo‘lsa, mos holda x ⃗(t) I-yo‘l kuchli regulyar deyiladi, (q.ng [*], [*]).
G-gruppa GL(4,R) gruppaning qismgruppasi bo‘lsin. Agar shunday g∈G element mavjud bo‘lib, barcha t∈I uchun y ⃗(t)=gx ⃗(t) tenglik o‘rinli bo‘lsa, ikki x ⃗(t) va y ⃗(t) I- yo‘llar G-ekvivalent deyiladi. Ravshanki ([1]), bu holda y ⃗^((j)) (t)=gx ⃗^((j)) (t), j=1,2,…, va M(y ⃗ )(t)=gM(x ⃗ )(t) tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Demak ohirgi tenglikdan ham x ⃗(t) va y ⃗(t) I- yo‘llarning G-ekvivalentligi kelib chiqadi.
Quyidagi teoremada x ⃗(t) va y ⃗(t) kuchli regulyar I- yo‘llarning G-ekvivalent bo‘lishini zaruriy va yetarli shartlari M(x ⃗ )(t) va M(y ⃗ )(t) yordamida G=O(1,1) bo‘lgan hollar uchun ko‘rsatilgan.
2.1. teorema Ikki x ⃗(t) va y ⃗(t) kuchli regulyar I- yo‘llar G-ekvivalent bo‘lishi uchun barcha t ∈ I qiymatlarda quyidagi shartlarni bajarilishi zarur va yetarli:
(M(x ⃗ )(t))^(-1) M'(x ⃗ )(t)=(M(y ⃗ )(t))^(-1) M'(y ⃗ )(t);
(M(x ⃗ )(t))^T JM(x ⃗ )(t)=(M(y ⃗ )(t))^T JM(y ⃗ )(t)
bu yerda M(x ⃗ )(t)=(■(x_1 (t)&x_1^((1) ) (t)@x_2 (t)&x_2^((1) ) (t))).
Isbot. Agar x ⃗(t) va y ⃗(t) kuchli regulyar I- yo‘llar G-ekvivalent bo‘lsa, shunday g∈G⊂GL(2,R) matritsa topiladiki, ular uchun y ⃗(t)=gx ⃗(t), yoki umumiy holda M(y ⃗ )(t)=gM(x ⃗ )(t) tenglik barcha t∈I uchun o‘rinli bo‘ladi. Bundan 1.-2. tengliklarni o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas. Jumladan, 1. tenglikni tekshiramiz:
(M(y ⃗ )(t))^(-1) M'(y ⃗ )(t)=(gM(x ⃗ )(t))^(-1) gM'(x ⃗ )(t)=
=(M(x ⃗ )(t))^(-1) g^(-1) gM'(x ⃗ )(t)=(M(x ⃗ )(t))^(-1) M'(x ⃗ )(t)
Teskaridan faraz qilamiz, yaʼni x ⃗(t) va y ⃗(t) yo‘llar uchun 1. va 2. tengliklar barcha t∈I qiymatlarda o‘rinli bo‘lsin. Agar A=A(t)-teskarilanuvchi matritsa bo‘lsa, t o‘zgaruvchining qabul qilishi mumkin bo‘lgan barcha qiymatlarida (A^(-1) )'=-A^(-1) A'A^(-1) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bundan foydalanib 1. va 2. tengliklarni quyidagi ko‘rinishda yozishimiz mumkin,
1'. (M(y ⃗ )(t) [M(x ⃗ )(t)]^(-1) )^'=0;
2'. (〖M(y ⃗ )(t)(M(x ⃗ )(t))〗^(-1) )^T J(〖M(y ⃗ )(t)(M(x ⃗ )(t))〗^(-1) )=J
1'. tenglikdan shuni aytish mumkinki, M(y ⃗ )(t) [M(x ⃗ )(t)]^(-1) matritsaning elementlarini hech biri t o‘zgaruvchiga bog‘liq emas, yaʼni shunday g∈GL(4,R) matritsa mavjudki, barcha t∈I qiymatlarda
M(y ⃗ )(t) [M(x ⃗ )(t)]^(-1)=g (6)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. (4) va 2' tengliklardan g^T Jg=J munosabatga ega bo‘lamiz, yaʼni g∈O(1,1). Bulardan esa x ⃗(t) va y ⃗(t) I-yo‘llarning O(1,1)-ekvivalent bo‘lishi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.

R〈x ⃗ 〉^(O(1,1)) maydon tashkil eʼtuvchilari sistemasi

x ⃗(t) va y ⃗(t) I- yo‘llarning G-ekvivalent bo‘lishi uchun 1-teoremada keltirilgan zaruriy va yetarli shartlari mos holda x_i (t),x_i^((j)) (t),i,j=1,2 o‘zgaruvchili ratsional funksiyalar uchun maʼlum tengliklarni ifodalaydi. Taʼbiyki, bunday bog‘lanishni o‘rganishda sanoqli sondagi
x_1 (t),x_2 (t),x_1^((1)) (t),x_2^((1)) (t),…,x_1^((r)) (t),x_2^((r)) (t),…
o‘zgaruvchili ko‘phadlarning haqiqiy sonlar maydoni ustida aniqlangan
R{x ⃗ }=R{x_1,x_2,} halqasi qaraladi. Bunday halqa elementlari uchun d(x_i^((r) ) (t))=x_i^((r+1) ) (t), i=1,2, r=0,1,... amalni olamiz. U holda, d amalni R{x_1,x_2,} halqa differensialigacha bir qiymatli davom ettirish mumkin. Differensiallash amali kiritilgan halqalar odatda differensial halqa (d-halqa) deyiladi. Yuqoridagi ko‘rinishda aniqlangan d-halqa elementlari differensial ko‘phad (d-ko‘phad) deyiladi.
Maʼlumki ([28]), R{x_1,x_2 } halqada kiritilgan d differensiallash amalini maydon munosabatlarining differensiallarigacha yagona ko‘rinishda davom etdirish mumkin. Bunday aniqlangan maydon diffeiyensial maydon (d-maydon), uning elementlari esa differensial ratsional funksiyalar deyiladi va mos holda R〈x ⃗ 〉=R〈x_1,x_2 〉, f〈x ⃗ 〉=f〈x_1,x_2 〉 ko‘rinishida belgilanadi.
Agar ixtiyoriy g∈G uchun f{gx ⃗ }=f{x ⃗ } ( mos holda f〈gx ⃗ 〉=f〈x ⃗ 〉) tenglik o‘rinli bo‘lsa, f{x ⃗ }∈R{x ⃗ } d-ko‘phad (mos holda f〈x ⃗ 〉∈R〈x ⃗ 〉 d-ratsional funksiya) G- invariant deyiladi. Barcha G-invariant d-ko‘phadlar (mos holda G-invariant d-ratsional funksiyalar) to‘plamini R{x ⃗ }^G (mos holda R〈x ⃗ 〉^G) orqali belgilanadi. Maʼlumki ([29]), R{x ⃗ }^G to‘plam (mos holda R〈x ⃗ 〉^G) R{x ⃗ } d-halqada (mos holda R〈x ⃗ 〉 d- maydonda) kiritilgan amallarga nisbatan differensial qism halqani (mos holda differensial qismmaydonni) ifodalaydi.
A={α_j }_(j∈∆)∈R〈x ⃗ 〉 elementlar to‘plami berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy b∈R〈x ⃗ 〉 element A to‘plam elementlariga R〈x ⃗ 〉 maydon amallarini chekli marta qo‘llash orqali hosil qilinsa A to‘plam R〈x ⃗ 〉 maydonning tashkil eʼtuvchilari sistemasi deyiladi, bu yerda ∆-tartiblangan natural qator. Agar A to‘plam elementlari chekli songan teng bo‘lsa R〈x ⃗ 〉 maydon chekli tashkil eʼtuvchilar sistemasiga ega deyiladi. Agar shunday nol bo‘lmagan F{x ⃗ }∈R{x ⃗ } ko‘phad mavjud bo‘lib, bu ko‘phadning A to‘plamdagi qiymati nolga teg bo‘lsa, yaʼni F{α_1,α_2,...,α_p }=0 tenglik o‘rinli bo‘lsa, α_1,α_2,...,α_p elementlar algebaik bog‘liq aks holda, algebraik bog‘lanmagan deyiladi, bu yerda α_1,α_2,...,α_p∈A.
R〈x ⃗ 〉 d-maydonning algebraik bog‘lanmagan chekli tashkil eʼtuvchilari sitemasi d-ratsional bazis deyiladi. R{x ⃗ }^G d-qismmaydonning d-ratsional bazisi ham yuqoridagilarga analog tarzda taʼriflanadi.
Quyida R{x ⃗ }^G d-qismmaydonning G=O(1,1) bo‘lgan hol uchun d-tashkil eʼtuvchilari sistemasini tiklash masalasini o‘rganamiz. Buning uchun quyidagi asosiy teoremalardan foydalanamiz.
teorema ([29], I bob, 1.5.3). 〈x ⃗_i,x ⃗_j 〉 O(1,1)-invariant ko‘phadlar
sistemasi R{x ⃗_1,x ⃗_2,〖...,x ⃗〗_n }^(O(1,1)) halqada butun ratsional bazisni ifodalaydi, bu yerda x ⃗_i,x ⃗_j∈V i≤j,i,j=(1,n) ̅,
Teoremadan shuni tushunish mumkinki, ixtiyoriy O(1,1)-invariant f{x ⃗_1,x ⃗_2,〖...,x ⃗〗_n } ko‘phad 〈x ⃗_i,x ⃗_j 〉 ko‘rinishidagi O(1,1)-invariant ko‘phadlar orqali butun ratsional ifodalanadi. Quyidagi teorema 2- teoremaning differensial analogini ifodalaydi.
3-teorema. Har qanday 〖f〈x ⃗ 〉∈R〈x ⃗ 〉〗^(O(1,1)) funksiya
〈x ⃗^((i)),x ⃗^((j)) 〉, i,j∈Z_0^+, (7)
O(1,1)-invariant differensial ko‘phadlar sistemasi orqali differensial ratsional ifodalanadi.
Ushbu teoremalardan foydalanib quyidagiga ega bo‘lamiz:
4-teorema. Quyidagi O(1,1)-invariant differensial ko‘phadlar sistemasi R〈x ⃗ 〉^(O(1,1)) d-maydonning d-tashkil eʼtuvchilari sistemasini ifodlaydi:
〈x ⃗^((i-1)),x ⃗^((i-1)) 〉,i=1,2. (8)
Isbot. 2-teoremaga asosan R〈x ⃗ 〉^(O(1,1)) maydonning ixtiyoriy elementi (7) sistema elementlari orqali d-ratsional ifodalanadi.
〈x ⃗^((i)),x ⃗^((j)) 〉=〈x ⃗^((j)),x ⃗^((i)) 〉 tenglikni o‘rinli bo‘lishidan i≤j bo‘lgan holni qarashimiz yetarli. Demak teoremani isbotlashimiz uchun (7) sistema elementlarini (8) sistema elementlari orqali d-ratsional ifodalanishini ko‘rsatishimiz yetarli. Buning uchun quyidagi lemmalardan foydalanamiz:
1-lemma. Har qanday 〈x ⃗^((i)),x ⃗^((j)) 〉 i,j∈Z_0^+ko‘rinishidagi O(1.1)- invariant d-ko‘phadlar sistemasi
〈x ⃗^((k)),x ⃗^((k)) 〉 (9)
sistema elementlari orqali ifodalanadi,bu yerda k=[(i+j)/2], [┤]-ifoda sonning butun qismi.
Lemma d〈x ⃗^((i)),x ⃗^((j)) 〉=〈x ⃗^((i+1)),x ⃗^((j)) 〉+〈x ⃗^((i)),x ⃗^((j+1)) 〉 tenglikka j-i=h ayirma bo‘yicha matematik induksiya metodini tadbiq qilish orqali isbotlanadi.
2-lemma. R_1,1^2 fazoning ixtiyoriy y ⃗_1,y ⃗_2,y ⃗_3,y ⃗_4,z ⃗_1,z ⃗_2,z ⃗_3,z ⃗_4 vektorlari uchun det(〈y ⃗_i,z ⃗_j 〉)_(i,j=1)^4=0 tenglik har doim o‘rinli.
Isbot. Maʼlumki ([29], II bob, 12-§), R^2 fazodagi ixtiyoriy a ⃗_1,a ⃗_2,a ⃗_3,b ⃗_1,b ⃗_2,b ⃗_3 vektorlar uchun
det((a ⃗_i,b ⃗_j ))_(i,j=1)^3=0 (10)
tenglik o‘rinli, bu yerda (a ⃗_i,b ⃗_j )=a_i1 b_j1-a_i2 b_j2 i,j=1,2. Quyidagi ko‘rinishidagi matritsani olamiz:
h matritsa uchun h^T h=hh^T=J munosabat o‘rinli bo‘lib, bu munosabat yordamida
(hy ⃗_i,hz ⃗_j )=〖(hy ⃗_i)〗^T hz ⃗_j=y ⃗_i^T h^T hz ⃗_j=〈y ⃗_i,z ⃗_j 〉 (11)
tenglikka ega bo‘lamiz, bu yerda y ⃗_i,z ⃗_j∈R_1^2,i,j=1,2. (8) va (10) tengliklardan lemmada qilinayotgan davo kelib chiqadi. Lemma isbotlandi.
3-lemma. Xar qanday 〈x ⃗^((k)),x ⃗^((k)) 〉 ko‘rinishidagi O(1,1)- invariant d- ko‘phad (6) sistema elementlari orqali d-ratsional ifodalanadi.
Isbot.Lemmani isbotlash uchun k parametr qiymatlari bo‘yicha induksiyalaymiz. k=(0,2) ̅ qiymatlarda lemma o‘z-o‘zidan ravshan. k=3 bo‘lsin. Bu holda, 2-lemmaga asosan ixtiyoriy x ⃗∈V uchun det(〈x ⃗^((i)),x ⃗^((k)) 〉)_(i,j=0)^3=0 tenglik o‘rinli. 1-lemmadan esa determinantning barcha elementi uning bosh dioganali elementlari orqali ifodalanadi. Bu ifodalar va yuqoridagi determinant yordamida 〈x ⃗^((3)),x ⃗^((3)) 〉 d-ko‘phad (7) sistema elementlari orqali differensial ratsional ifodalanishi kelib chiqadi.
Induksiya metodiga asosan, barcha k≤r qiymatlar uchun lemma o‘rinli deb faraz qilib, k=r+1 uchun ham o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatamiz. Buning uchun, x ⃗^((r-3)) x ⃗^((r-2)),x ⃗^((r-1)),x ⃗^((r)),x ⃗^((r+1)) vektorlarga 2-lemmani tadbiq qilib det(〈x ⃗^((i)),x ⃗^((j)) 〉)_(i,j=r-2)^(r+1)=0 tenglikka ega bo‘lamiz. 1-lemmaga asosan determinantning barcha elementlari uning bosh dioganali elementlari orqali ifodalanadi. Bosh dioganalning 〈x ⃗^((r+1)),x ⃗^((r+1)) 〉 elementidan tashqari qolgan barchasi farazimizga ko‘ra (6) sistema elementlari orqali ifodalanadi. Determinanatni hisoblash orqali 〈x ⃗^((r+1)),x ⃗^((r+1)) 〉 d-ko‘phad ham (6) sistema elementlari orqali d-ratsional ifodalanishi kelib chiqadi. Lemma isbotlandi.
1-natija. Ikki kuchli regulyar x ⃗(t) va y ⃗(t) I-yo‘llar O(1,1)-ekvivalent bo‘lishi uchun quyidagi shartlarni o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli:
〈x ⃗^((i-1)),x ⃗^((i-1)) 〉=〈y ⃗^((i-1)),y ⃗^((i-1)) 〉 (12)
bu yerda t∈I,i=1,2.
Yuqorida keltirib o‘tilgan natija va teoremalar [29] monografiyada umumiy holda isbotlangan.