Lobachevskiy geometriyasining puankare va kleyn talqini

2.2-§. Lobochevskiy geometriyasining kasr chiziqli almashtirishlar taʼsiriga nisbatan invariantlari
Avvalgi bobda aytib o‘tganimizdek, Lobachevskiy geometriyasi (giperolik gemetriya) matematik fanining taraqqiyotida muhim bosqichdir, chunki Lobochevskiy ishlari geometriyaning umumlashishiga va matematikaning turi sohalarini, mexanikani, fizikani, astronomiyani rivojlanishiga turtki bo‘ldi.
Quyida fransuz matematigi Lobachevskiy geometriyasini Keli – Kleyn modelini ham eslatib o‘tamiz:
“Tekislik” – tayinlangan doira - N2.
“Nuqta” – Yevklid tekisligidagi oiraning ixtiyoriy ichki nuqtasi.
“To‘g‘ri chiziq” – shu doiraning ixtiyoriy vatari (oxrgi nuqtalari kirmaydi).
“yotadi”, “Orasida” – to‘g‘ri maʼnoda.
Metrika (yoki A V kesma uzunligi quyidagicha aniqlanadi: d=|AB|=log(MA/AN:MB/BV), bu yerda M va N nuqtalar AV to‘g‘ri chiziqning cheksiz uzoqlashgan nuqtalari, (MA/AN:MB/BN) – M, A, B, N nuqtalarning murakkab nisbati.
(H^2,d) – juftlikni Lobachevskiy fazosi deb ataladi.
Aytaylik, z o‘zgaruvchini almashtirish quyidagi formula orqali aniqlangan bo‘lsin:
z^'=L(z)=((az+b)/(cz+d)) (1)
(bu yerda a,b,c,d – kompleks sonlar va Δ=|■(a&b@c&d)|≠0 ) va bu almashtirish kasr chiziqli funksiya deb ataladi.
Maʼlumki, 1) ikkita kasr chiziqli funksiyaning superpozitsiyasi yani kasr chiziqli funksiya bo‘ladi.
2) kasr chiziqli funksiya teskarisi ham kasr chiziqli funksiya. Demak, kasr chiziqli funksiyalar to‘plami superpozitsiya amaliga nisbatan gruppa tashkil qiladi.
Agar l tug‘ri chiziqning uchta x_1,x_2,x_3 nuqtasi uchun x_12.5. Teorema. . almashtirish taʼsiriga nibatan
d=|ln((x_3-x_1)/(x_3-x_2 ):(x_4-x_1)/(x_3-x_2 ))| (2)
metrika invariantdir.
Isbot: (2) da keltirilgan har bir o‘zgaruvchini x_i^'= (ax_i+b)/(cx_i+d) almashtirish bilan almashtirib, (2) formulaga olib borib qo‘ysak