Lobachevskiy geometriyasining puankare va kleyn talqini

2.3-§. Lobachevskiy tekisligida yo‘llarninig ekvivalentligi.

Maʼlumki, to‘g‘ri chiziq xosmas nuqtalar bilan to‘ldirilsa, proyektov chiziq xosil bo‘ladi. Analitik nuqtai nazardan proyektiv to‘g‘ri chiziq (x1:v1) – proporsional nuqtalar (bir jinsli koordinatalar) to‘plami orqali aniqlanadi. Ular bir vaqtda nolga teng emas. Bir jinsli koordinatalar quyidagi xossalarga ega bo‘ladi:

proyektiv to‘g‘ri chiziqda har bir nuqta bir jinsli koordinataga ega.
Agar x_1,x_2 lar A nuqtaning birjinsli koordinatalari bo‘lsa, λx_1,λx_2 lar ham bir jinsli koorddinnatalari bo‘ladi. Bu yerda λ=0 ixtiyoriy son.
Turli nuqtalarga bir jinsli koordinatalarning turli nisbatlari mos keladi.
l - proyektiv to‘g‘ri chiziq (yaʼni xosmas nuqtalar biln to‘ldirilgan chiziq) bo‘lsin. , bu yerda (x1,x2 ) – bir jinsli koorddinnata.
Shuningdek,

Maʼlumki to‘rt nuqtaning murakkab nisbati kasr chiziqli almashtirishga nisbatan invariant.

2.6. teorema. l To‘g‘ri chiziqni L almashtirish to‘rt nuqtaning murakkab nisbatini saqlashi uchun L almashtirish

Ko‘rinishdagi kasr chiziqli funksiya bo‘lishi zarur va yetarli ([31], 213 bet, [30], 321 bet).

Quyidagi kasr chiziqli almashtirishni qaraymiz

bu yerda x – o‘zgaruvchi, a, b, c, d – o‘zgarmas

2.7. teorema. almashtirishga nibatan
metrika invariant. ([4], S. 194).
2.1. taʼrif. Agar l va l' proyektiv to‘g‘ri chizqlar orasidagi o‘zaro bir qiymatli moslik A^'=f(A) to‘rt nuqtaning murakkab nisbatini saqlasa, bunday almashtirish proyektiv almashtirish deyiladi.
Ko‘pincha proktiv almashtirishning analitik tasvirini bir jinsli bo‘lmagan koordinatalarda berish qulay bo‘ladi.
Aytaylik, – nuqtaning bir jinsli koordinatasi bo‘lsin. U holda А nuqtaning bir jinsli bo‘lmagan koordinatasi bo‘ladi. A^'=f(A) l va l' to‘g‘ri chizqlarning proyektiv almashtirish bo‘lsin.
U holda A va A' nuqtaning bir jinsli koordinatalari orasida quyidagicha munosabat bo‘ladi.
(1)
(2)

Bu tengliklarni xadlab bo‘lsak,

,

bu esa A va A' nuqtaning bir jinsli bo‘lmagan , koordinatalari orasidagi bog‘lanishni ifodalaydi. Demak, .

2.7. teorema. Agar to‘g‘ri chiziqni ' to‘g‘ri chiziqqa o‘tkazuvchi prektiv almashtirish berilgan bo‘lsa, u holda ' to‘g‘ri chiziqning bir jinsli bo‘lmagan koordinatalari to‘g‘ri chiziqning bir jinsli bo‘lmagan kooordinatalari kasr chiziqli funksiya orqali ifodalanadi.
Endi bir jinsli koordinatalar bo‘yicha d=d(x,y,z,t) metrikani xisoblaymiz: