Affin almashtirishning analitik ifodasi

Affin almashtirishning analitik ifodasi
Tekislikda ixtiyoriy ikkita B=(O,e̅₁,e̅₂),B′=(O′₁,e̅′₁,e̅′₂) affin reperni qaraymiz (22-chizma).Ular tekislikda biror A(B)=B′ almashtirishni aniqlaydi.
B reperga nisbatan Mnuqtaning koordinatalarini x,y bilan,M′-A(M) obrazining koordinatalarini esa x′,y′ bilan belgilaymiz.Affin almashtirish ta′rifiga ko′ra M′ nuqta B′ reperga nisbatan x,y koordinatalarga ega.

B′ reperning e̅₁,e̅₂ koordinata vektorlari B reperga nisbatan e̅′₁(a₁,a₂), e̅′₂(b₁,b₂) koordinatalarga ega, ya′ni

e̅′′=a₁e̅₁+a₂e̅₂,
e̅₂=b₁e̅₁+b₂e̅₂, (32)
c₁,c₂ esa O′ koordinatalar boshining B reperga nisbatan koordinatalari bo′lsin.U holda
O͞M′=x′e̅′+y′e̅₂, O͞′M′=xe̅₁+ye̅₂, O͞O′=c₁e̅₁+c₂e̅₂ (33)
Lekin
O͞M′=O͞O′+O͞′M′ (34)
(32),(33) tengliklarni e′tiborga olsak, (34) tenglikdan ushbu munosabatni hosil qilamiz;
x′e̅₁+y′e̅₂=(a₁x+b₁y+c₁)e̅₁+(a₂x+b₂y+c₂),
bundan
x′=a₁x+b₁y+c₁
y′=a₂x+b₂y+c₂ (35)
e̅′₁,e̅₂ vektorlar kollinear bo′lmagani uchun (35) formulalarda ≠0

Shunday qilib, tekislikdagi A almashtirishda B reperga nisbatan M′=A(M) nuqtaning koordinatalari orqali (36) shart bajarilganda (35) formulalar bo′yicha ifodalanadi.

Aksincha,tekislikni biror f almashtirish (35) formulalar bilan aniqlangan va unda ≠0 bo′lsin. Bu almashtirishning affin almashtirish ekanini ko′rsatamiz. Shu maqsaddda B reperga nisbatan Ax+By+C=0 tenglama bilan aniqlangan (bunda A,Bning kamida biri noldan farqli) biror l to′g′ri chiziqni olamiz.
F almashtirish l to′g′ri chiziqni l′ figura o′tkazadi,l′ figuraning to′g′ri chiziq ekanini ko′rsatsak,maqsadga ershgan bo′lamiz(35) ni quyidagicha yozamiz:
a₁x+b₁y=x′-c₁,
a₂x+b₂y=y′-c₂,
bu yerda ≠0 bo′lgani uchun bu sistema birgalikda, uni yechib,x,yni topamiz:
x=b₂/ x′-b₁/ y′- / ,
y=-a₂/ x′+a₁/ y′+ / . (37)
(37) dan x va y ning qiymatlarini Ax+By+C=0 ga qo′yib ixchamlasak,
(Ab₂-Ba₂)/ x′+(Ba₁-Ab₂)/ y′+A / +B / +C=0
Yoki
(Ab₂-Ba₂)x′+(Ba₁-Ab₁)y′+(A +B +C )=0 (38)

(38)da Ab₂-Ba₂,Ba₁-Ab₂ sonlarning kamida biri noldan farqli,chunki aks holda

Ab₂-Ba₂=0,Ba₁-Ab₁=0
Tengliklardan a₁b₂-a₂b₁ bo′lgani uchun A=B=0 kelib chiqadi.Bu esa qilingan farazga zid chunki A²+B²≠0.Shunday qilib (38) tenglama (o′zgaruvchi x,y larga nisbatan birinchi darajali bo′lgani uchun ) to′g′ri chiziqning tenglamasidir.Demak,l figura to′g′ri chiziq.
Biz quyidagi faktni isbotlashga muvaffaq bo′ldik:har qanday affin almashtirish koordinatalarda (35)chiziqli formulalar bo′yicha ifodalanadi,bunda
≠0 (*)
Va aksincha (35) chiziqli formulalar (*) shartda har vaqt tekislikdagi affin almashtirishni ifodalaydi.
Affin almashtirishga misollar
1.Tekislikda shunday ikkita B=(O,e̅₁,e̅₂) va B′=(O,e̅′₁,e̅′₂) affin reperlarni qaraylik, bunda e̅′₁=ke̅₁,e̅′₂=ke̅₂ bo′lsin. Bu ikki affin reper biror A affin almashtirishni aniqlaydi,ya′ni A:B→B′; bu vaqtda ixtiyoriy M va M′=A(M) nuqtalar uchun
O͞M=xe̅₁+ye̅₂, O͞M′=xe̅′₁+ye̅′₂=kxe̅₁+kye̅₂=kO͞M.
Har qanday M,M′ mos nuqtalar jufti uchun O͞M′=kO͞M shartni qanoatlantiradigan almashtirish tekislikda O markazli va k koeffitsientli gomotetiya edi.Demak, gomotetiya affin almashtirishdir.
2.A almashtirish B=(O,e̅₁,e̅₂) va B′=(O′,e̅₁,e̅₂) affin reperlar bilan aniqlangan bo′lsin. U holda har qanday M nuqta va uning A almashtirishdagi M′ obrazi uchun
O͞M=xe̅₁+ye̅₂, O͞′M′=xe̅₁+ye̅₂→O͞M=O͞′M′;
Lekin
M͞M′=M͞O+O͞O′+O͞′M′=O͞O′.
Har qanday M,M′ mos nuqtalar jufti uchun M͞M′=O͞O′ shartni qanoatlantiradigan almashtirish tekislikda O͞O′ vektor qadar parallel ko′chirish edi.Demak,parallel ko′chirish affin almashtirishdir.
3.Tekislikda a to′g′ri chiziq va koordinatalar boshi umumiy bo′lgan shunday ikki B=(O,e̅₁,e̅₂),B′=(O,e̅′₁,e̅′₂) affin reperni olaylikki,O a, e̅₁ǁa, e̅′₁=e̅₁, e̅′₂=λe̅₂ va e̅₁perpendikular e̅₂(λ≠1) bo′lsin (123-chizma)

Bunday ikki affin reper bilan aniqlangan A affin almashtirishda har qanday mos M,M′=A(M) nuqtalar jufti uchun

O͞M=xe̅₁+ye̅₂, O͞M′=xe̅′₁+ye̅′₂=xe̅₁+λye̅₂ (39)
munosabatlarni yoza olamiz.(39) munosabatlardan ko′rinadiki,B reperda M,M′ nuqtalar ushbu koordinatalarga ega:M(x,y),M′(x,λy). Bundan esa Ox=a to′g′ri chiziqning nuqtalari A almashtirishda qo′zg′almas degan xulosa kelib chiqadi.
M͞M′=O͞M′-O͞M=(λ-1)ye̅₂→M͞M′ǁe̅₂→MM′ perpendikula Ox.
MM′ to′g′ri chiziq bilan Ox=a to′g′ri chiziqning kesishgan nuqtasini P bilan belgilaylik.
B reperda P(x,0) bo′ladi, u holda M͞P=-ye̅₂,P͞M′=λye̅₂, bu ikki tenglikdan
M͞