Лекция 1 Введение. Стационарные и нестационарные задачи математической физики. О корректных задачах для уравнений в частных производных

Лекция 1
Введение. Стационарные и нестационарные задачи математической физики. О корректных задачах для уравнений в частных производных

Прямая задача математической физики связывается с классическими краевыми задачами математической физики и характеризуется необходимостью найти решение, которое удовлетворяет заданному уравнению с частными производными и некоторым начальным и граничным условиям. В обратных задачах определяющее уравнение и/или начальные, и/или граничные условия не заданы полностью, но зато есть некоторая дополнительная информация. При таком выделении обратных задач математической физики мы можем говорить о коэффициентных (уравнение полностью не задано — неизвестны некоторые коэффициенты уравнения), граничных (неизвестны граничные условия) и эволюционных (связанных с тем, что не задано начальное условие) обратных задачах математической физики. Обратные задачи часто являются некорректными в классическом смысле задачами. Типичным является нарушение требования непрерывной зависимости решения от входных данных. Введение в класс корректных задач достигается сужением класса допустимых решений.

Ядро прикладных математических моделей составляют уравнения с частными производными. Решение определяется из уравнений математической физики и некоторых дополнительных соотношений. В качестве дополнительных соотношений выступают, прежде всего, краевые и начальные условия. В курсах уравнений математической физики выделяют как наиболее важные для приложений уравнения второго порядка. Среди них отметим эллиптические, параболические и гиперболические уравнения.


Стационарные задачи математической задачи

В качестве примера будем рассматривать двумерные краевые задачи. Решение ищется в некоторой ограниченной области с достаточно гладкой границей . Оно определяется из эллиптического уравнения второго порядка

. (1.1)

На коэффициенты уравнения обычно накладываются ограничения

.

Типичным примером эллиптического уравнения (1.1) является уравнение Пуассона

, (1.2)

т.е. в уравнении (1.1) .

Для уравнения (1.1) будем рассматривать граничные условия первого рода


. (1.3)

На границе области или ее части могут задаваться и граничные условия второго или третьего рода. В случае граничных условий третьего рода имеем

, (1.4)

где внешняя по отношения к нормаль.

Многие основные особенности стационарных задач математической физики, описываемых эллиптическими уравнениями второго порядка, можно проиллюстрировать при рассмотрении простейших краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Прототипом (1.1) выступает уравнение


, (1.5)

с переменными коэффициентами

.

Для однозначного определения неизвестной функции уравнение (1.5) дополняется двумя граничными условиями на концах отрезка . Задаваться могут функция (граничное условие первого рода), поток (граничное условие второго рода) или же их линейная комбинация (граничное условие третьего рода):

(1.6)


(1.7)


, (1.8)

где заданные константы.