Лекция 1 Введение. Стационарные и нестационарные задачи математической физики. О корректных задачах для уравнений в частных производных

Лекция 3


Классификация обратных задач математической физики

Краевая задача для уравнения с частными производными характеризуется заданием определяющего уравнения, расчетной области, граничных и начальных условий. Поэтому среди обратных задач можно выделить коэффициентные, геометрические, граничные и эволюционные обратные задачи.

Коэффициентные обратные задачи

Выделим коэффициентные обратные задачи, которые характеризуется тем, что коэффициенты уравнения или (и) правая часть неизвестны. В качестве характерного примера будем рассматривать параболическое уравнение

. (1.46)

Простейшая прямая задача состоит в нахождении функции , удовлетворяющей уравнению (1.46) и условиям

, (1.47)


. (1.48)

В прикладных проблемах часто свойства среды неизвестны и их нужно определять. В нашем случае можно поставить задачу идентификации коэффициента . В простейшем случае однородной среды неизвестным является коэффициент , для кусочно-однородной среды — несколько констант. При зависимости свойств среды интерес может представлять коэффициентная обратная задача по восстановлению .

Список возможных постановок коэффициентных обратных задач не исчерпывается выше отмеченными и легко может быть продолжен. Характерной является задача для уравнения (1.46) по нахождению пары неизвестных функций . Основная особенность рассматриваемой обратной задачи состоит в нелинейности коэффициентной обратной задачи.
Можно выделить как самостоятельную задачу определения неизвестной правой части параболического уравнения (1.46). Более частные постановки связаны, например, с выбором зависимости


. (1.49)

Интерес может представлять неизвестная зависимость источника (правой части) от времени при известном распределении по пространству – в представлении (1.49) функция неизвестна, а функция задана.

Если коэффициенты и (или) правая часть уравнения (1.46) неизвестны, то помимо условий (1.47), (1.48) необходимо использовать некоторые дополнительные условия. Этих условий не должно быть мало, чтобы иметь возможность для однозначного определения решения обратной задачи. Если ищется коэффициент в классе одномерных функций (функций одной переменной), то и дополнительные данные должны задаваться в этом же классе.
Пусть, например, рассматривается обратная задача (1.46)–(1.49) по нахождению пары функций . Помимо решения краевой задачи (1.46)–(1.48) нужно найти зависимость от времени правой части. В этом случае дополнительная информация может иметь вид


, (1.50)

т. е. известно решение на каждый момент времени не только на границе, но и в некоторой внутренней точке расчетной области .

При рассмотрении обратных задач типа (1.46)–(1.50) особое внимание должно уделяться проблемам единственности решения обратной задачи. Особенно это важно при рассмотрении нелинейных задач (пример – задача нахождения пары функций .