Лекция 1 Введение. Стационарные и нестационарные задачи математической физики. О корректных задачах для уравнений в частных производных

Понятие условно корректной задачи

Необходимость решения неустойчивых задач, подобных приведенной выше, требует более точного определения решения задачи. В условно корректных задачах, задачах, корректных по А. Н. Тихонову, речь идет уже не просто о решении, а о решении, принадлежащем некоторому классу. Сужение класса допустимых решений позволяет в некоторых случаях перейти к корректной задаче.

Будем говорить, что задача поставлена корректно по Тихонову, если:
1) априори известно, что решение задачи существует в некотором классе,
2) в этом классе решение единственно,
3) решение задачи зависит непрерывно от входных данных.
Принципиальное отличие состоит именно в выделении класса допустимых решений. Класс априорных ограничений на решение может быть разный. Сама постановка задачи при рассмотрении некорректных задач существенно меняется – в постановку задачи включается условие о принадлежности решения некоторому множеству.


Условная корректность задачи с обратным временем

Рассмотрим некорректную задачу Коши (задано начальное условие (1.20)) для уравнения

, (1.37)

в котором оператор определяется согласно (1.18).

Получим оценку решения задачи (1.18), (1.20), (1.37) при , из которой вытекает условная корректность задачи. В исследовании опираемся на самосопряженность оператора и на то, что он не зависит от времени (оператор – стационарный). Обозначим


. (1.38)

Непосредственное дифференцирование выражения (1.38) с учетом уравнения (1.37) при дает

. (1.39)

Принимая во внимание самосопряженность оператора , при повторном дифференцировании получим

. (1.40)

Из (1.38)–(1.40) и неравенства Коши-Буняковского следует

. (1.41)
Неравенство (1.41) эквивалентно неравенству


, (1.42)

т.е. функция выпукла. Из (1.42) имеем

.

Отсюда следует

.

С учетом (1.38) получим искомую оценку решения задачи (1.20), (1.37):

. (1.43)
Пусть теперь рассматривается решение задачи (1.20), (1.37) в классе ограниченных в решений, т.е.


. (1.44)

В классе априорных ограничений (1.44) из (1.43) получим оценку

. (1.45)

Это значит, что для задачи (1.20), (1.37) имеет место непрерывная зависимость решения от начальных данных при в классе ограниченных решений. На основании этого имеет смысл строить алгоритмы приближенного решения некорректной задачи (1.20), (1.37), которые каким-либо образом выделяли бы класс ограниченных решений. Кроме того, для приближенного решения должна быть характерной оценка типа (1.45), которая допускает рост нормы решения во времени.