Лекция 1 Введение. Стационарные и нестационарные задачи математической физики. О корректных задачах для уравнений в частных производных

Краевая задача для параболического уравнения

Некоторые основные вопросы исследования корректности краевых задач математической физики проиллюстрируем на примере простейшей краевой задачи для одномерного параболического уравнения (1.9)—(1.11). Мы не будем здесь касаться вопросов существования решения, ограничившись проблемой единственности и непрерывной зависимости решения от входных данных, Будем считать что задача (1.9)—(1.11) имеет классическое решение (например, дважды непрерывно дифференцируемое по и непрерывно дифференцируемое по ).

Запишем (1.9)—(1.11) как задачу Коши для дифференциально-операторного уравнения первого порядка. Для функций, заданных в области и обращающихся в нуль в граничных точках (на ), введем гильбертово пространство в котором скалярное произведение определено следующим образом


.

Для нормы в используется обозначение

.

Для функций, удовлетворяющих краевым условиям (1.10), определим оператор

. (1.18)

С учетом введенных обозначений уравнение (1.9), дополненное условиями (1.10) на границе, запишем как дифференциально-операторное уравнение для нахождения :

. (1.19)

Начальное условие (1.11) переписывается в виде

. (1.20)

Отметим основные свойства оператора , определяемого согласно (1.18). Оператор является самосопряженным и неотрицательным в :

. (1.21)

Свойство самосопряженности следует из равенства

,

которое получено с учетом того, что функции обращаются в нуль при . Для функций имеем

и поэтому .

Получим простейшую априорную оценку для решения задачи (1.19), (1.20). При рассмотрении задач для эволюционных уравнений большое значение имеет лемма Гронуолла. Ограничимся ее формулировкой в простейшем варианте.