Лекция 1 Введение. Стационарные и нестационарные задачи математической физики. О корректных задачах для уравнений в частных производных

Лемма 2.1. Для любых сеточных функций, обращающихся в нуль на , верно неравенство


. (2.37)


Доказательство. Для такой сеточной функции имеем


, (2.38)
. (2.39)

Для оценки правых частей (2.38), (2.39) воспользуемся неравенством

.

Полагая , из (2.38), (2.39) получим

, (2.40)
. (2.41)

Пусть , если, например, нечетное. Случай четного рассматривается отдельно. Из (2.40), (2.41) имеем

,
.

Каждое из этих неравенств домножим на и сложим их:

. (2.42)

Принимая во внимание, что

,

от (2.42) приходим к оценке (2.37).

Предложенное доказательство без принципиальных изменений переносится на случай неравномерной сетки. Это же замечание относится и к многомерным задачам при использовании прямоугольных или общих нерегулярных сеток.
Для разностного оператора (2.34) с ограниченными коэффициентами как оператора в конечномерном пространстве Н полезна также оценка сверху, которой нет, конечно, для дифференциального оператора А (неограниченный оператор).
Лемма 2.2. Имеет место оценка


(2.43)

с постоянной

.


Доказательство. Действительно, имеем


.

Воспользовавшись неравенством , положительностью сеточных функций , условиями , получим

.

Отсюда следует доказываемая оценка (2.43). ■

Точность разностных схем

Для приближенного решения задачи (2.1), (2.2) используется разностная схема

, (2.44)


. (2.45)

Для исследования точности разностной схемы (2.44) рассмотрим задачу для погрешности приближенного решения

.

Для погрешности из (2.44), (2.45) получим разностную схему

, (2.46)

Которая с учетом точной аппроксимации краевых условий (2.2) рассматривается на множестве сеточных функций , обращающихся в нуль на границе. В (2.46) погрешность аппроксимации:

. (2.47)

Рассматривая случай достаточно гладких коэффициентов и правой части уравнения (2.1), при использовании аппроксимаций (2.34) для погрешности аппроксимации получим

. (2.48)

Сформулируем простейший результат о точности разностной схемы (2.44), (2.45) при решении модельной одномерной задачи (2.1), (2.2).

Теорема 2.1. Для погрешности разностного решения, определяемого из (2.44), (2.45), справедлива априорная оценка


.(2.49)

Доказательство. Домножим уравнение для погрешности (2.46) скалярно на , что дает

. (2.50)

Для левой части этого равенства имеем

,

а правая часть оценивается снизу с учетом неравенства Фридрихса (2.37):

. ■
Подстановка в (2.50) дает доказываемую оценку (2.49).
Из выражения (2.48) для локальной погрешности аппроксимации и априорной оценки (2.49) следует сходимость разностного решения к точному со вторым порядком.