Лекция 1 Введение. Стационарные и нестационарные задачи математической физики. О корректных задачах для уравнений в частных производных

Сеточная задача. Модельная дифференциальная задача

Рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

, (2.1)

с переменными коэффициентами

.

Эллиптические уравнения второго порядка, прототипом которых является уравнение (2.1), используются при моделировании многих физико-механических процессов.

Для однозначного определения неизвестной функции уравнение (2.1) дополняется двумя граничными условиями на концах отрезка. Задаваться может функция (граничное условие первого рода), поток (граничное условие второго рода) или же их линейная комбинация (граничное условие третьего рода):


; (2.2)


; (2.3)


. (2.4)

В задачах с разрывными коэффициентами (контакт двух сред) формулируются дополнительные условия. Простейшее из них (условие идеального контакта) для уравнения (2.1) связывается с непрерывностью решения и потока в точке контакта :

,

где использованы обозначения

.

Отдельного рассмотрения заслуживают задачи с несамосопряженным оператором, когда, например,

. (2.5)

Уравнение конвекции-диффузии-реакции (2.5) является модельным при исследовании процессов в механике сплошной среды.

При описании деформаций пластин и оболочек, задач гидродинамики математические модели включают эллиптические уравнения четвертого порядка. Их рассмотрение необходимо начать с краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка. Простейшей такой задачей является задача для уравнения


. (2.6)

В этом случае задаются по два граничных условиях на концах отрезка. Например, уравнение (2.6) дополняется условиями первого рода:

, (2.7)


. (2.8)

При формулировке других типов краевых задач для уравнения (2.6) в граничных точках могут участвовать вторая и третья производные.