Лекция 1 Введение. Стационарные и нестационарные задачи математической физики. О корректных задачах для уравнений в частных производных

Лекция 5


Численное решение краевых задач для эллиптических уравнений

Среди стационарных задач математической физики наиболее важными для приложений являются краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. Для модельной двумерной задачи рассматриваются проблемы построения дискретных аналогов при использовании регулярных прямоугольных сеток на основе конечно-разностных аппроксимаций. Исследование сходимости приближенного решения к точному проводится в сеточных гильбертовых пространствах с привлечением свойств положительной определенности сеточного эллиптического оператора. Исследование сходимости в равномерной норме базируется на принципе максимума для сеточных эллиптических уравнений. При решении сеточных уравнений, которые возникают при дискретизации краевых задач для эллиптических уравнений, наиболее часто используются итерационные методы. Наибольшего внимания заслуживают попеременно-треугольные итерационные методы.

Краевые задачи

Основное внимание уделяется двумерным краевым задачам, когда расчетная область имеет наиболее простой вид

,

т.е. является прямоугольником. Главным объектом нашего исследования будет эллиптическое уравнение второго порядка

. (5.1)

На коэффициенты уравнения накладываются ограничения

.

Характерным и наиболее простым примером эллиптического уравнения второго порядка является уравнение Пуассона

. (5.2)

В этом случае в уравнении (5.1) и .

Уравнение (5.1) дополняется некоторыми граничными условиями. В случае задачи Дирихле граничные условия имеют вид

. (5.3)

В более сложных случаях на границе области или ее части задаются граничные условия второго или третьего рода, например,

, (5.4)

где, напомним, внешняя по отношению к нормаль.