Лекция 1 Введение. Стационарные и нестационарные задачи математической физики. О корректных задачах для уравнений в частных производных

Краевая задача для эллиптического уравнения

При рассмотрении эллиптических краевых задач основное внимание уделяется априорным оценкам устойчивости по граничным условиям и правой части. В качестве примера стационарной задачи математической физики рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона (1.2), (1.3). Подобно рассмотренному выше случаю параболической задачи можно ориентироваться на получение априорных оценок решений краевых задач для эллиптического уравнения второго порядка в гильбертовых пространствах. Укажем на возможность получения априорных оценок в других нормах. Наше рассмотрение базируется на использовании хорошо известного принципа максимума.

Теорема 1.2 (Принцип максимума). Пусть в задаче (1.2), (1.3) в ограниченной области . Тогда решение достигает максимума (минимума) на границе области, т.е.


. (1.27)

Простым следствием принципа максимума является утверждение о единственности решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Следствие 1. Решение задачи (1.2), (1.3) единственно.
На основе теоремы 1.2 можно получить и априорные оценки, выражающие устойчивость решения задачи (1.2), (1.3) по правой части и граничным условиям в равномерной норме. Используем обозначения


.


Теорема 1.3. Для решения задачи (1.2), (1.3) имеет место априорная оценка


, (1.28)


где постоянная зависит от диаметра области .
Доказательство. Выберем функцию , которая удовлетворяет условиям


, (1.29)


. (1.30)
Рассмотрим функции


,
(1.31)


.

Принимая во внимание (1.27) и (1.30), получим на границе области . Внутри области из (1.2) и (1.29) следует

.

С учетом (1.29) имеем . На основании принципа максимума получим во всей области .

Так как функции неотрицательны, из (1.31) непосредственно вытекает


.

Тем самым мы установили априорную оценку (1.28) с постоянной .

Конкретизируем величину константы, ее зависимость от расчетной области. Будем считать, что ограниченная область целиком лежит в круге радиуса с центром .
Положим

с пока неопределенной положительной константой . Очевидно, что и

.

Поэтому при выборе условия (1.29), (1.30) будут выполнены. В силу этого постоянная в (1.28) определяется выражением

.

Это постоянная зависит только от диаметра области .

Априорная оценка (1.28) обеспечивает устойчивость решения задачи (1.2), (1.3) по правой части и граничным условиям. Аналогично рассматривается и случай более общих краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка (1.1) с граничными условиями третьего рода (1.4).