Kurs ishi mavzu: Yo’nalish bo’yicha hosila. Ilmiy rahbar: o‘qituvchi M. Umirzakova. Qo’qon 2022

1.2§. Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari.
Ushbu bobda biz ko’p o’zgaruvchili funksiyalar differensial hisobi bilan shug’ullanamiz. Kiritiladigan va o’rganiladigan xosilalar va differensiallar tushunchalari bir o’zgaruvchining funksiyalari uchun kiritilgan mos tushunchalarning tegishlicha umumlashtirilishidan iborat bo’ladi. Ayni paytda, biz ko’ramizki, ko’p o’zgaruvchili funksiyalar uchun xos bo’lgan bir qancha yangi tushunchalar ham (yo’nalish bo’yicha hosila, to’la differensial va hokazo) o’rganiladi. Bugungi kunda oliy ta’lim sohasidagi islohotlar sabab fanlarni o’rganish va o’zlashtirish uchun ko’plab qulayliklar mavjud. Shu jumladan, „Yonalish bo’yicha hosila“ mavzusi yuzasidan darslarni tashkillashtirish hamda mustahkamlash borasida ham samarali ishlar olib borilmoqda.
Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari.

1. 
   Funksiya xususiy hosilasining ta’riflari.
   

fumksiya ochiq to’plamda berilgan bo’lsin. Bu to‘plamda nuqta olib, uning birinchi koordinatasi ga shunday  ( ortirma beraylikki,
(     bo’lsin. Natijada funksiya ham nuqtada o’zgaruvchisi bo’yicha
(    
xususiy ortirmaga ega bo’ladi.
Ushbu
(1)
nisbatni qraylik. Ravshanki bu nisbat ning funksiyasi bo’lib, u ning noldan farqli qiymatlarida aniqlangan.
Ta’rif: Agar da (1) nisbatning limiti
=
Mavjud va chekli bo’lsa, bu limit funksiyaning
nuqtadagi o’zgaruvchisi bo’yicha xususiy hosilasi deb ataladi va
, , ,
belgilarning biri bilan belgilanadi. Demak,
( )= =
Agar + deb olsak, unda va → da bo’lib natijad
=
bo’ladi. Demak funksiyaning nuqtadagi o’zgaruvchisi bo’yicha xususiy hosilasini ushbu

nisbatning dagi limiti sifatida ta’riflash mumkin.
Xuddi shunga o’xshash funksiyaning boshqa o’zgaruvchilari bo’yicha xususiy hosilalari ta’riflanadi:
=
………………………………………………………………..
=
Demak, ko’p o’zgaruvchili funksiyaning biror nuqtada ( o’zgaruvchisi bo’yicha xususiy hosilasini ta’riflashda bu funksiyaning ( o’zgaruvchisidan boshqa barcha o’zgaruvchilari o’zgarmas deb hisoblanar ekan. Shunday qilib, funksiyaning xususiy hosilalari avval o’rganilgan hosila bir o’zgaruvchili funksiya hosilasi kabi ekanligini ko’ramiz. Demak, ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning xususiy hosilalarini hisoblashda bir o’zgaruvchili funksiyaning hosilasini hisoblashdagi ma’lum bo’lgan qoida va jadvallardan to’liq foydalanish mumkin.
1-misol. Ushbu

funksiyaning ) nuqtadagi xususiy hosilalari topilsin.
Yechish:
= = .
= = = (1+ )

2-misol. bo’lsin. Bu funksiyaning nuqtadagi xususiy hosilalari topilsin.

Yechish: