Mavzu: Funksiyaning uzluksizligi. Funksiyaning uzulish nuqtalari va ularning turlari. Funksiyaning noli

Mavzu: Funksiyaning uzluksizligi. Funksiyaning uzulish nuqtalari va ularning turlari. Funksiyaning noli.
Agar x₀ va uning atrofida aniqlangan y = f(x) funksiya shu nuqtada chekli limitga ega bo’lib, bu limit funksiyaning x₀ nuqtadagi qiymatiga teng, yani

bo’lsa, u holda bu funksiya x₀ nuqtada uzluksiz deyiladi.
Funksiyaning uzluksizligi haqidagi quyidagi ta’rif yuqoridagi ta’rifga teng kuchlidir.
Agar y = f(x) funksiya x₀ nuqtada va uning atrofida aniqlangan bo’lib, argumentning cheksiz kichik orttirmasiga funksiyaning cheksiz kichik orttirmasi mos kelsa, yani
bo’lsa, u holda funksiya x₀ nuqtada uzliksiz deyiladi. Bu erda = x - x₀ va f(x₀ + ) - f(x₀ ) -mos ravishda argument va funksiya orttirmalari.
f(x) funksiyaning x₀ nuqtada uzluksiz bo’lishi uchun uzluksizlikning quyidagi shartlari bajarilishi zarur va etarlidir.

1. 
   Funksiya x₀ nuqta va uning atrofida aniqlangan.
   
2. 
   Funksiyaning x= x₀ nuqtadagi chap va o’ng limitlari teng: f(x₀ -0) = f(x₀ +0);
   
3. 
   x= x₀ nuqtadagi bir tomonlama limitlar f(x₀ ) ga teng, yani f(x₀ -0) = f(x₀ +0) = f(x₀ ).
   

f(x) funksiya x₀ nuqtaning atrofida aniqlangan, ammo bu nuqtaning o’zida uzluksizlik shartlaridan aqalli bittasi bajarilmasa , bu funksiya x₀ nuqtada uzilishga ega deyiladi.
Agar f(x) funksiya uchun chekli bir tomonli f(x₀ -0) va f(x₀ +0) limitlar mavjud bo’lsa va shu bilan birga , f(x₀ ), f(x₀ -0) , f(x₀ +0) sonlar o’zaro teng bo’lmasa, u holda x₀ nuqta 1 - tur uzilish nuqtasi deyiladi.
Xususan, agar f(x₀ -0) = f(x₀ +0) ≠ f(x₀ ) bo’lsa , u holda x₀ bartaraf qilinadigan uzilish nuqtasi deyiladi.
Agar f(x₀ -0) yoki f(x₀ +0) bir tomonli limitlardan aqalli bittasi ∞ ga teng bo’lsa , x₀ nuqta 2 - tur uzilish nuqtasi deyiladi.
Agar funksiya oraliqning hamma nuqtasida uzluksiz bo’lsa , u shu oraliqda uzluksiz deyiladi. Elementar funksiyalarning hammasi o’zlarining aniqlanish sohasida uzluksizdir.
Agar f(x) va φ(x) funksiyalar x₀ nuqtada uzluksiz bo’lsa , u holda

1. 
   f(x) ± φ(x) 2. f(x) • φ(x) 3. (φ(x₀) ≠ 0) funksiyalar ham x₀ nuqtada uzluksiz bo’ladilar.
   

Agar f(x) funksiya [ɑ ; b] kesmada uzluksiz bo’lsa, u

1. 
   shu kesmada chegaralangan;
   
2. 
   shu kesmada eng kichik va eng kata qiymatlarga erishadi;
   
3. 
   berilgan ikkita qiymati orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi , yani agar f(α) = A f(β) = B (ɑ <α<β< b) va A ≠ B ham x ning aqalli bitta x = γ (α< γ <β ) qiymati topiladiki f(γ) = C bo’ladi.
   

Xususan , agar f(α) va f(β) har xil ishorali bo’lsa ( yani f(α) • f(β) < 0 bo’lsa) shunday x = γ (α< γ <β ) qiymati topiladiki f(γ) = 0 bo’ladi.
f(γ) = 0 bo’ladigan x = γ nuqta funksiyaning noli deyiladi.