|
M (x, y) nuqtasidan XOY koordinata tekisligiga perpendikulyar o’tkazamiz. Bu perpendikulyarga funksiyaning z=f (x, y) qiymatini qo’yamiz. Natijada fazoda koordinatalari (x, y, f (x, y)) bo’lgan P nuqtani hosil qilamiz.
Ta’rif: z=f(x,y) funksiyaning grafigi deb fazodagi P(x,y,z)=P(x,y,f(x,y))=P(x,y,f(M)), M =M(x,y) D{f} nuqtalaming geometrik o‘rniga aytiladi.
Masalan, yuqorida keltirilgan z=f (x, y) funksiyaning grafigi tenglamasi
z=f (x, y) = z2=1-x2-y2 x2+y2+z2=1
bo’lgan sferadan, z=g (x, y) funksiyaning grafigi, tenglamasi
z=3x+5y-1 yoki 3x+5y-z-1=0 bo'lgan tekislikdan iborat.
Ammo yuqoridagi z=h (x, y) funksiya grafigini to’g’ridan-to’g’ri tasavvuf etish oson emas. Bunday hollarda funksiyaning sath chiziqlari tushunchasidan foydalaniladi.
Ta’rif: z=f (x, y) funksiyaning qiymatlari biror o’zgarmas С soniga teng bo’ladigan XOY koordinata tekisligidagi nuqtalar to'plamidan iborat chiziq funksiyaning sath chizigi, С soni esa sath deb ataladi.
Ta’rifdan z=f (x, y) funksiyaning С sathli sath chizig'i tenglamasi f (x, y) = с bo'lgan chiziqdan iborat ekanligi kelib chiqadi.
Yuqorida biz n o’zgaruvchili funksiyani U=f (x1, x2, …, xn) ko’rinishda yozgan edik va n=2 bo’lgan hol, ya’ni z=f (x, y) ikki o’zgaruvchili funksiyani o’rgandik. Bunda biz ikki o’zgaruvchili funksiyani geometrik talqini tushunchasi bilan ham tanishdik.
Agar n ≥ 3 bo’lsa f (x1, x2, …, xn) funksiyani bevosita geometirik tasvirlab bo’lmaydi. Agar n=3 bo’lsa, u holda berilgan funksiya uch o’zgaruvchili bo’ladi va uni biz U = f (x, y, z) ko’rinishida yozamiz. Bunda x, y, z argumentlar va µ funksiya bo'ladi. Xuddi shunday to'rt, besh va hokazo o'zgaruvchili funksiyalarni ham yozish mumkin.
Ko’p o’zgaruvchili funksiya ham bir o'zgaruvchili funksiya kabi analitik, jadval va grafik usullarda berilishi mumkin. Funksiya analitik usulda, ya’ni formula bilan berilgan holda ko’pincha uning aniqlanish sohasi ko’rsatilmaydi. Lekin biz funksiyaning aniqlanish sohasi sifatida funksiya analitik ifodasini ma’noga ega qiladigan (x1, x2, …, xn) nuqtalar to’plamini tushunamiz.
Ta’rif: Berilgan M0 (x0, y0) nuqtaning r radiusli atrofi deb tekislikdagi tengsizlikni qanoatlantiruvchi M (x, у) nuqtalar to’plamiga aytiladi.
Ta’rif: Biror chekli A soni ikki o’zgaruvchili z=f (x, y) funksiyaning uning argumentlari , bo’lgandagi limiti deb aytiladi, agar har qanday kichik >0 soni uchun unga bog’liq shunday r( )=r>0 son topilsaki, M0 (x0, y0) nuqtaning r = r ( ) radiusli atrofiga tegishli bo’lgan barcha M (x, y) M0 (x0, y0) nuqtalar uchun │f (x, y) — A│ tengsizlik bajarilsa.
Ikki o’zgaruvchili f (x, y) funksiyaning holdagi , limiti
yoki
kabi yoziladi.
Teorema: Agar Z=f (x, y) va Z=g (x, y) funksiyalarning ikkalasi ham M0(x0,y0) nuqtaning biror Ur(x0,y0) atrofida aniqlangan va ularning
yoki
limitlari mavjud bolsa, u holda quyidagi tengliklar o’rinli bo’ladi:
(c – o’zgarmas son)
,
,
,
= ( ).
Ikki o’zagruvchili z=f(x,y) funksiyaning limiti ta’rifini x ± , у ± yoki A=± hollar uchun ham berish mumkin.
Ta’rif: M0(x0,y0) nuqta z=f(x,y) funksiyaning D{f} aniqlanish sohasidagi biror nuqta bo’lib, o‘zgaruvchi M(x,y) nuqta funksiyaning aniqlanish sohasida qolgan holda M0(x0,y0) nuqtaga ixtiyoriy usulda intilganda
f (x0 ,y0) yoki
tenglik o’rinli bo’lsa, Z=f (x, y) funksiya M0 (x0, y0) nuqtada uzluksiz deyiladi. Bu holda M0 (x0, y0) funksiyaning uzluksizlik nuqtasi deyiladi. Biror D sohaning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lgan funksiya shu sohada uzluksiz deyiladi.
Masalan, f (x, y) funksiya tekislikdagi barcha nuqtalarda aniqlangan va ularning har birida uzluksizdir. Demak, bu funksiya butun tekislikda uzluksizdir.
f (x, y) = funksiya esa yarim o’qlari a=3, b=2 bo’lgan ellips va uning ichki nuqtalarida uzluksizdir.
z=f (x, y) funksiyaning M0(x0, y0) nuqtada uzluksizligining boshqa bir ta’rifini berish uchun argument va funksiya orttirmasi tushunchasi kiritiladi. Agar M (x, y) o’zgaruvchi nuqta bo’lsa, unda va ayirmalar mos ravishda x va у argumentlarning o’zgarishlarini ifodalaydi, hamda argument orttirmalari deyiladi. Bu holda , deb yozish mumkin. Bu holda Z=f (x, y) funksiyaning o’zgarishi
ayirma bilan aniqlanadi va u funksiyaning to’la orttirmasi deb ataladi.
Orttirmalar tilida
f(x0,y0)
tenglikdagi , munosabatlardan ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun yuqoridagi tenglikni
0
ko'rinishda yozish mumkin. Bu funksiya uzluksizligining orttirmalar tilidagi ifodasidir.
Ta’rif: z=f (x, y) funksiya argumentlarning biror nuqtadagi cheksiz kichik orttirmalariga funksiyaning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelsa, u holda funksiya o’sha nuqtada uzluksiz deyiladi.
Teorema: Agar f (x, y) va g (x, y) funksiyalar M0 (x0, y0) nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda cf (x, y) (c-o’zgarmas son),
f (x, y) g (x, y), f (x, y) g (x, y) va ( ).
funksiyalar ham M0 (x0, y0) nuqtada uzluksiz bo’ladi.
Yuqorida biz Z=f (x, y) funksiyaning ikkala x va y argumentlari bo’yicha uzluksizligini ko rib o’tdik. Ammo biz funksiyaning har bir argument bo’yicha uzluksizligini ham qarashimiz mumkin. Buning uchun esa funksiyaning xususiy orttirmasi tushunchasini kiritamiz.
Ta’rif: z=f (x, y) funksiya uchun argumentlarning va orttirmalarida
ayirmalar mos ravishda funksiyaning x va у argumentlari bo’yicha M0 (x0, y0) nuqtadagi xususiy orttirmalari deyiladi.
Ta’rif: Z=f (x, y) funksiya uchun M0(x0, y0) nuqtada
yoki
tengliklar bajarilsa, u holda bu funksiya M0(x0, y0) nuqtada x yoki y argument bo’yicha uzluksiz deyiladi.
Ta’rif: Agar biror M0(x0, y0) nuqtada
f (x0, y0)
bo’lsa, u holda bu nuqtada Z=f (x, y) funksiya uziladi va uzlukli. M0(x0, y0) nuqta esa uzulish nuqtasi deyiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
