|
1.3§ Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning differensiallanuvchanligi.
Funksiyaning differensiallanuvchanligi tushunchasi. Differensiallanuvchilikning zaruriy sharti.
fumksiya ochiq to’plamda berilgan bo’lsin. Bu to‘plamda nuqta bilan birga
nuqtani olib berilgan funksiyaning to’la orttirmasi
ni qaraymiz.
Ravshanki, funksiyaning orttirmasi argumentlar orttirmalari larga bog’liq bo’lib, ko’pchilik hollarda lar bilan orasidagi boglanish murakkab bo’ladi. Tabiiyki, bunda larga ko’ra ni aniq yoki taqribiy hisoblash qiyinlashadi. Natijada orttirmasi orttirmalar bilan soddaroq bog’lanishda bo’lgan funksiyalarni o’rganish maslasi yuzaga keladi.
Ta’rif. Agar funksiyaning nuqtadagi orttirmasini
(2)
ko’rinishida ifodalsh mumkin bo’lsa, funksiya nuqtada differensiallanuvchi deb ataladi, bunda , . . . , lar larga bog’liq bo’lmagan o’zgarmaslar. lar esa larga bog’liq bo’lliq va da
( bo’lganda
deb olinadi).
Agar funksiya to’plamning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo’lsa, funksiya to’plamda differensiallanuvchi deb ataladi.
Misol. Ushbu funksiyani qaraylik. Bu funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’ladi. Haqiqatdan ham nuqtada berilgan funksiyaning orttirmasi
bo’lib, unda , = , deyilsa, natijada
bo’ladi. Bu esa berilgan funksiyaning nuqtada differensiallanuvchi ekanligini bildiradi.
f(x) funksiyaning nuqtada differensiallanuvchanlik sharti (2) ni quyidagi
+o(p) (3)
ko’rinshida ham yozish mumkinligini ko’rsatamiz, bunda p = va nuqtalar orasidagi masofa:
Ravshanki,
va
bo’ladi.
Endi da (2) munosabatdagi
miqdor ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz miqdor ekanligini ko’rsatami. Agar
.
munosabatda
(k=1, 2, . . ., m)
bo’lishini e’tiborga olsak, unda
bo’ladi. Demak,
.
Shunday qilib, (2) shartning o’rinli bo’lishidan (3) ning o’rinli bo’lishi kelib chiqdi.
Agar f(x) funksiyaning nuqtada differensiallanuvchanlik sharti (3) ko’rinishida o’rinli bo’lsa, bundan bu shartning (2) ko’rinishi ham o’rinli bo’lishi kelib chiqadi. Shuni isbotlaylik.
Agar p=0 bo’lsa, unda bo’ladi va (3) dan (2) kelib chiqadi.
p bo’lsin. Unda , larning barchasi bir yo’la nolga teng bo’lmaydi. Shuni e’tiborga olib quyidagini topamiz:
0(p)= =
=
=
bunda
bo’lib, ya’ni da
.
Demak, f(x) funksiyaning nuqtada differensiallanuvchanligining (2) va (3) shartlari o’zaro ekvivalentdir.
Endi differensiallanuvchi funksiyalar haqida ikkita teorema keltiramiz.
1-teorema.
Agar f(x) funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, u holda bu funksiya shu nuqtada uzluksiz bo’ladi.
Isbot. f(x) funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’lsin. U holda ta’rifga ko’ra funksiya orttirmasi uchun
bo’ladi, bunda o’zgarmas, da .
Yuqoridagi tenglikdan
. . . .
’lshi kelib chiqadi. Bu esa f(x) funksiyaning nuqtada uzluksizligini bildiradi. Teorema isbot bo’ldi.
2.Funksiya differensiallanuvchiligining yetarli sharti. Endi ko’p o’zgaruvchili funksiya differensiallanuvchi bo’lishining yetarli shartini keltiramiz.
f(x)=f ( funksiya ochiq M (M to’plamda berilgan bo’lib, nuqta shu to’plamga tegishli bo’lsin.
Teorem. Agar f(x) funksiya nuqtaning biror atrofida barcha o’zgaruvchilari bo’yicha xususiy hosilalarga ega bo’lib, bu xususiy hosilalar shu nuqtada uzluksiz bo’lsa, f(x) funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’ladi.
Isbot. nuqtani olib, uning koordinatalariga mos ravishda shunday orttirmalar beraylikki, nuqta nuqtaning aytilgan atrofiga tegishli bolsin. So’ng funksiya to’la orttirmasi
ni quyidagicha yozib olamiz:
+. . . +
Bu tenglikning o’ng tomonidagi har bir ayirma tegishli bitta argumentning funksiyasi orttirmasi sifatida qaralishi mumkin. Uning uchun Logranj teoremasini tadbiq qila olamiz, chunki teoremamizda keltirilgan shartlar Logranj teoremasi shartlarini bajarilishini ta’minlaydi:
+ +
+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . +
+ , (1)
bunda
Odatda (1) funksiya orttirmasining formulasi deb ataladi. Shartga ko’ra nuqtada xususiy hosilalar uzluksiz. Shunga ko’ra
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2)
bo’lib, unda da bo’ladi.
(1) va (2) munosabatlardan
bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa funksiyaning nuqtada differensiallanuvchi ekanligini bildiradi. Teorema isbot bo’ldi.
Bir o’zgaruvchili funksiyalarda ham, ko’p o’zgaruvchili funksiyalarda ham funksiyaning biror nuqtada differensiallanuvchi bo’lishidan uning sh nuqtada uzluksiz bo’lishi kelib chiqadi. Demak, bir va ko’p o’zgaruvchili funksiyalarda funksiyaning differensiallanuvchi bo’lishi bilan uning uzluksiz bo’lishi kelib chiqadi.
Ma’lumki, bir o’zgaruvchili funksiyalarda funksiyaning biror nuqtada differensiallanuvchi bo’lishidan shu nuqtada chekli hosilaga ega bo’lishi kelib chiqadi va, aksincha, funksiyaning biror nuqtada chekli hosilaga ega bo’lishidan uning shu nuqtada differensiallanuvchi bo’lishi kelib chiqadi.
Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarda funksiyaning biror nuqtada differensiallanuvchi bo’lishidan uning shu nuqtada barcha xususiy hoslilalarga ega bo’lishi kelib chiqadi. Biroq funksiyaning biror nuqtada barcha chekli xususiy hosilalarga ega bo’lishidan uning shu nuqtada differensiallanuvchi bo’lishi har doim ham kelib chiqavermaydi.
Demak, bir va ko’p o’zgaruvchili funksiyalarda funksiyaning differensiallanuvchi bo’lishi bilan uning xosilaga (xususiy hosilaga) ega bo’lishi orasidagi munosabat bir xil emas ekan.
Do'stlaringiz bilan baham: |
