Krilov usuli Danilevskiy usuli

Xos son va xos vektorlarni topishning sonli usullari

• 
  Krilov usuli
  
• 
  Danilevskiy usuli
  
• 
  Xos qiymatlarning qismiy muammolarini hal etishda Levere va boshqa metodlar. Moduli bo`yicha eng katta xos son va xos vektorni berilgan aniqlikda topish.
  

Tayanch iboralar.
Vektor, matrisa, xos son, xos vektor, matrisaning spektri, spektral radiusi, xarakteristik tenglama, xarakteristik ko`phad, minor, to`liq muammo, qismiy muammo, chiziqli tenglamalar sistemasi.

Noldan farkli vektor uchun

(1)
tenglik bajarilsin. Undagi soni A kvadrat matrisaning xos son yoki xarakteristik soni, vektor A matrisaning ga mos xos vektori (umuman, xam A ning xos vektori, bunda –ixtiyoriy son). A matrisaning barcha xos sonlari tuplami A matrisaning spektri, xos sonlar modullarining maksimumi A matrisaning (a) spektral radiusi,
D()=det(A– E)= =0 (2)
A matrisaning asriy eki xarakteristik tenglamasi , (2) tenglamaning chap kismidan iborat.
()=det(A–E)=(–1)ⁿ(ⁿ–p₁^n–1–p₂^n–2–…–p_n) (3)
n–darajali ko`phad A matrisaning xarakteristik ko`phadi,
R()=ⁿ–r₁^n–1–p₂^n–2–…–p_n (4)
esa A matrisaning xos ko`phadidir. Xos sonlar va xos vektorlarni topish uchun:

1. 
   R() tuziladi;
   
2. 
   R()=0 tenglamadan barcha _i (i= ) xos sonlar topiladi;
   
3. 
   ushbu
   

(A–_iE) (5)
bir jinsli tenglamalar sistemasidan xos vektorlar aniqlanadi.
(4) ko`phadning r_i koeffisentlari A matrisaning (–1)^i–1 ishora bilan olingan i–tartibli diagonal minorlar yigindisiga teng:

Bu tengliklardan kam foydalanadilar: n ning katta qiymatlarida hisoblashlar ogirlashadi. Amalda esa aniq (to`g`ri) usullar va iterasion usullardan foydalaniladi. Aniq usullar qo`llanilganda oldin p<sub>i</sub> koeffisentlar topiladi, sung R() ko`phad tuzilib, uning ildizlari (_i lar ) va keyin lar aniqlanadi. Iterasion usullardan xrakteristik ko`phad tuzib utirilmay, to`g`ridan–to`g`ri xos sonlar va xos vektorlar bir vaktning uzida topiladi. Aniq usullar xos sonlarning xammasini topishga (muammoni tulik xal kilishga), iterasion usullar esa bitta eki bir nechta xos son va xos vektorni topishga (muammoni kisman xal kilishga) imkon beradi. Hisoblashlarda
₁+₂ +… +_n=a₁₁+a₂₂+…+a_nn=tr A
₁* ₂*…*_n=det A (6)
tengliklardan keng foydalanadilar.
A.N.Krilov usuli.

1. 
   Noldan farkli ixtieriy ⁽⁰⁾=(s₀₁,s_02,…,s_0n)^’ vektor tanlanadi, qolgan ⁽ⁱ⁾ (i=1,2,. . . n) vektorlar ⁽ⁱ⁾=A ⁽⁰⁾ eki ⁽⁰⁾=A ^(i–1) munosabat bo`yicha aniqlanadi;
   

2) ushbu
(7)
sistema tuziladi va undan r_i lar aniqlanadi;
3) (3) xarakteristik ko`phad tuziladi va undan <sub>i</sub> xos sonlar aniqlanadi; 4) xos vektorlar aniqlanadi:
<sup>(i)</sup>= <sub>i1</sub> <sup>(0)</sup> + <sub>i2</sub> <sup>(1)</sup> +… + <sub>im</sub> <sup>(m–1)</sup>, m n, (8)
bunda
(9)
1–misol . Ushbu
A=
Matrisaning xos sonlari va xos vektorlarini topamiz.
Echish.1) <sup>(0)</sup>=(1,0,0)’ bo`lsin.(6) munosabatga asosan:
⁽¹⁾= *

2) (7) sistema:

Ikkinchi va uchinchi tenglamalarning bir xil bulayotgani oldingi vektorlar chiziqli boglanganligini bildiradi. Sistemani shu vektorlarning chiziqli kombinasiyasida tuzamiz:
bundan (6) munosabatga ko`ra ga mos bo`lgan xos vektorlarni topamiz ( ni topish uchun boshkacha tanlanishi kerak). m=2 bo`lganidan
shunga ko`ra