Krilov usuli Danilevskiy usuli

Xos qiymatlarning qismiy muammolarini hal etishda Levere va boshqa metodlar. Moduli bo`yicha eng katta xos son va xos vektorni berilgan aniqlikda topish.
Xos sonlarning qismiy muammosini yechishning iteratsion metodlari
Bu paragrfda biz xos sonlarning qismiy muammosini yechishning eng soda metotlarini ko’rib chiqamiz. Bundan tashqari qaraladigan motritsalarimiz oddiy strukturaga ega deb faraz qilamiz.
Tarif. Agar n- tartibli A kvadrat matritsa n ta chiziqli erkli xos vektorlarga ega bo’lsa, bunday matritsa oddiy strukturaga ega deyiladi.
Chiziqli algebradan malumki, matritsalarning quyidagi siniflari oddiy strukturaga:
1.Simmetrik matritsa, chunki uning xos qiymatlari
haqiqiy sonlar bo’lib, xos vektorlardan tuzilgan ortogonal bazis mavjuddir.
2.Ermit matritsasi, uning barcha xos sonlari haqiqiy bo’lib, xos vektorlaridan mos ravishdagi n o’lchovli kompleks fazoda ortanormol bozis tuzish mumkin.
3.Normol matritsa. Agar motritsa o’zining qo’shmasi A* bilan komitativ, yani AA*=A*A bo’lsa, u holda A matritsa normol deyiladi. Umuman olganda, bu uchta sinifli tegishli matritsalardan tashqari oddiy strukturaga ega bo’lgan boshqa motritsalar ham mavjud.
Biz avval moduli bo’yicha eng katta xos son va unga mos keladiga mos vektorni topamiz.
1.eng katta xos son va unga mos keladigan xos vektorni topishda darajali metod. Faraz qilaylik , A matritsa oddiy strukturaga ega va uning xos sonlari , ,..., , bo’lib ,ularga mos keladigan chiziqli erkli xos vektorlar , ,... bo’lsin. Bu yerga to’rt xolni ko’rib chiqamiz :
1-hol. A matritsaning xos sonlaridan bittasi moduli bo’yicha eng katta bo’lsin. Umumiylikka zarar yetkazmasdan xos sonlar quyidagi tartibda joylashgan deb faraz qilishimiz mumkun :
. (1)
Biz ning taqribiy qiymatini topish usulini ko’satamiz.Ixtiyoriy no’ldan farqli vektorni olib ,uni A matritsa xos vektorlari bo’yicha yoyamiz :

Bu yerda lar o’zgarmas sonlar bo’lib, ayirmalari nol bo’lishi xam mumkun. vektor ustida matritsa yordamida almashtirish bajaramiz :

Bu yerda ekanligini hisobga olib (2)
Ga ega bo’lamiz.
Endi n o’lchovli vektorlar fazosi da ixtiyoriy bazis olamiz. Sh bazisda


bo’lsin. (9.2) tenglikni kardinatalarda yozib chiqamiz :
(3)
Shunga o’xshash
(4)
Bu yerda deb belgilab , (9.4) ni (9.3) ga bo’lamiz :
(5)
Faraz qilaylik, c bo’lsin, bunga erishish uchun dastylabgi vektor va bazisni kerakli ravishda tanlash kerak. Endi va deb (5) ni quyidagicha yozamiz :
(6)
Bu yerda esa (1) ni hisobga olsak, da
Kelib chiqadi.
Demak, (6) ni quyidagicha yozish mumkun :

Bu yerda esa etarlicha katta k lar uchun
(7)
Deb olishimiz mumkun. Odatda vektorning bir necha kordinatalari noldan farqli bo’ladi. Shuning uchun (9.7) da nisbatini i ning bir necha qiymatida hisoblash mumkun. Agar bu nisbatlar yetarli aniqlikda ustma- ust tushsa , u holda biz ni yetarli aniqlik bilan topgan bo’lamiz. Ravshanki, bu jarayonning yaqinlashishi tezligi ning kichikligiga bog’liqdir.