Krilov usuli Danilevskiy usuli

Misol.

Matritsaning mo’dullari bho’yicha eng katta xos sonlarni va unga mos keladigan xos vektorlari topilsin.
Yechish. Quyidagi vektorni olib uning iteratsiyalarini hosil qilamiz. Bu iteratsiyalar 14-jadvalda keltirilgan.

1 1 1 1	-1 18 6 2	-28 103 40 5	-204 419 233 12	-1072 1181 1142 29	-4496 801 4665 70	-14528 -17857 -14936 169	-6304 -160433 27289 408	120126 -789083 -70750	1079100 -3162093 -959363 49376

Bu jadvaldan ko’rinib turibdiki, iteratsiyalar ketma ketligining mos ravishdagi kompanentlarining nisbatlari tartibsiz ravishda o’zgaryapdi, xatto, ishoralar lmashinishi ro’y bermoqda. Bu esa komplekls i9ldizlarning mavjudligidan dalolat beradi. Endi va kompleks xos sonlarni topish uchun (12) tenglamani tuzamiz :
=0
Bu yerda va
Ga ega bo’lamiz. Xos sonlarning aniq qiymati esa dir.
Biz taqribiy yechimni uncha katta bo’lmagan niqlik bilan topdik. Chunki iteratsiyamizning soni yetarli emas edi. Aniqroq natijaga ega bo’lish uchun iteratsiyani yana davom ettirish kerak.
2. Ikkinchi xos son va unga mos keladigan xos vektorni topish.
Faraz qilaylik, A matritsaning xos sonlari quyidagi shartni qanoatlantirsin :

yani A matritsaning bir – biridan farqli bo’lgan ikkita mo’dullari bo’yicha eng katta xos son mvjud bo’lsin.
Bunday vaqtda 1-holda ko’rilgan usulga o’xshash usulni qo’llab, va unga mos keladigan xos vektorni topish mumkin. (9.2) fo’rmulaga ko’ra
bu tenglikda ni yo’qotish uchun (9.13) ni ga ko’paytirib (9.14) dan ayiramiz. Natijada 00
ga ega bo’lamiz.
Yozuvni qisqartirish maqsadida ning -ayirmasi deb ataluvchi quyidagi

belgilashni kiritamiz. Agar bo’lsa , u holda da (9.15) da birinchi qo’shiluvchi yig’indining bosh qismi bo’ladi va biz
taqribiy tenglilkka ega bo’lamiz. Bu yerda esa
Bu tengliklarni kompanentlarda yozib, quyidagi taqribiy tengliklarga ega bo’lamiz:
Bu fo’rmula yordamida ni topishimiz mumkin. Bir-biriga yaqin sonlar
va hamda va bo’lganligi uchun aniqlik yo’qoladi. Shuning uchun ham, praktikada aniqlaydigan iteratsiya nomeri m ni ni aniqlaydigan iteratsiy nomeri k dan kichikroq qilib olish, yani ni quyidagicha aniqlash maqulir :
Agar l yetarlicha katta bo’lsa ning (j=3,4,…) dan ortiqligi sezilib qoladi, m sifatida shu larning eng kichigini olish kerak . Umumiy aytganda (19) formula ning qo’pol qiymatini beradi. Shu usul bilan qolgan xos sonlarni xam topish mumkin, lekin natija yana ham qo’polroq chiqadi.
(16) dan ko’rinib turibdiki, dan faqat o’zgarms ko’payuvchiga farq qilyapti, shuning uchun ham

deb olishimiz mumkin.


Nazorat savollari
1.Matrisaning xos soni va xos vektori nima?
2.Xos sonlarning to`liq muammosi nimadan iborat?

3.Xos sonlarning qismiy muammosi nimadan iborat?

4.Matrisaning spektori nima?
5.Matrisaning spektral radiusi nima?
6. Matrisaning xarakteristik tenglamallash nima?
7. Matrisaning xarakterichstik ko`phadi nima?
8. Matrisaning xos sonlari qanday topiladi?
9. Matrisaning xos vektori qanday topiladi?
10.Krilov A. N. usulining mohiyatini bayon qiling..