Krilov usuli Danilevskiy usuli

3-hol . Faraz qilylik ,A matritsaning xos sonlari quyidagi shartlarni qanoatlantirsin :

Bu yerda yuqoridagi iterattsion jarayonini qo’llab bo’lmaydi.
Haqiqatdan ham (9.3) tenglikni quyidagicha yozish mumkin.
bu yerda va hadlar bir xil tartibga ega bo’lib, k ning o’zgarishi bilan ikkinchisi o’z ishorasini o’zgartiradi. Demak
Nisbat da limintga ega bo’lmaydi. Lekin bu yerda va yoki va dan foydalanib, ni topishimiz mumkin :

Shunday qilib, bu holda A matritsaning moduli bo’yicha eng katta sonni topishimiz mumkun. A matritsaning va xos sonlarga mos keladigan xos vektorlarni toppish uchun va vektorlarni tuzamiz :

A matritsaning xos soniga xos vector va xos soniga xos vector mos keladi . Shuning uchun xam, ga mos keladigan xos vector sifatida ni olishimiz mumkun . Agar r va p yoki bularning birortasi birdan katta bo’lsa , u holda boshqa dastlabki vektorni tanlab shu jarayonni takrorlash kerak .
4-xol Bu xolga A matritsaning moduli bo’yicha eng katta xos sonlari qo’shma qompleks bo’gan yoki mo’dullari bilan o’z aro juda yaqin bo’lgan xol kiradi . Faraz qilaylik, va xos sonlari qo’shma kompleks sonlar bo’lib , quyidagi shartni qanoatlantirsin .

Bu holda , quyidagi tarkibiy tengliklarning o’rinli ekanligiga osongina ishonch hosil qilish mumkun :

Demak , bu vektorlar orasida quyidagi taqribiy chiziqli bog’lanish mavjud:

Agar hisoblash jarayonida vektorlar orasida
Chiziqli bog’lanish o’rinli bo’lsa , u holda va lar

Kvadrat tenglamani qanoatlantiradi. Bu tenglamaning p va q kaifsentlarini quyidagi muloxazalar yordamida topish mumkun . kompanentlarga o’tsak,

bo’lib, deb olamiz. Bu yerdan p va q ni topib, (11) ga qo’ysak, u holda (11) ni quyidagicha yozsak bo’ladi:

(11) tenglikdan va topilgandan keyin ularga mos keladigan xos vektorlarni ham topish mumkin, (9) dan

Ga ega bo’lamiz. Bunatijalarni , mo’dullari teng yoki yaqin bo’lgan xos sonlarning soni bir juftdan ko’p bo’lgan hol uchun xam umumlashtirish mumkin.