Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

2. Зависимые и независимые события. Произведение событий.

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Определение 1. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.
Произведение событий А и В обозначается через АВ (или просто АВ).
Напомним, что вероятность P(В) некоторого события В вычисляется при выполнении определенного комплекса условий. При изменении условий вероятность события В, вообще говоря, может измениться. Так если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность P(В), добавить новое условие А, то полученная вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается P_А(В) или P(В/A) .
Теорема 1 (теорема умножения вероятностей). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло:
P(AB) = P(A)P_А(В) = P(B)P_B(A) .
Доказательство. Найдем сначала формулу вычисления условной вероятности P_А(В):
n – общее число равновозможных и несовместимых исходов испытания (случаев);
m – число случаев, благоприятствующих событию А;
k – число случаев, благоприятствующих событию В;
l – число случаев, благоприятствующих событию AB. Ясно, что lm, lk.
После того, как событие А произошло, число всех равновозможных и несовместимых исходов испытания (случаев) сократилось с n до m, а число случаев, благоприятствующих событию B сократилось с k до l.
Согласно классическому определению вероятности: P(AB)=l/n, P(A)=m/n.
Следовательно, P_А(В)=l/m=(l/n)/(m/n)= P(AB)/P(A).
Аналогично, P_B(A)=P(AB)/P(B).
Выражая из последних двух равенств P(AB), получаем доказываемую формулу.
Замечание 1. Теорему умножения вероятностей можно обобщить на случай произведения произвольного числа событий: вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других; при этом условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли:

Замечание 2. Теорема умножения вероятностей принимает наиболее простой вид, когда события, образующие произведение, независимы: вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
.
Два события называются независимыми, если наступление одного из них не меняет вероятности наступления другого. В противном случае события называются зависимыми.
Несколько событий называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы любые два из них и независимы любое из данных событий и любые комбинации (произведения) остальных событий. В противном случае события называются зависимыми.