Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Тема 2: Основные теоремы

ПЛАН
1. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей и её следствия.
2. Зависимые и независимые события. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

1. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей и её следствия

Напомним, что события называются несовместимыми (несовместными), если наступление одного из них исключает наступление другого. В противном случае события называются совместимыми (совместными).
Например, выигрыш по одному билету лотереи двух ценных предметов - события несовместимые, а выигрыш тех же предметов по двум билетам - события совместимые.
Определение 1. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.
Сумма событий А и В обозначается через А+В.
Теорема 1 (теорема сложения вероятностей). Вероятность суммы несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:
.
Доказательство. Рассмотрим случай суммы двух несовместимых событий А и В:
n – общее число равновозможных и несовместимых исходов испытания (случаев);
m₁ – число случаев, благоприятствующих событию А;
m₂ – число случаев, благоприятствующих событию В.
Согласно классическому определению вероятности: P(A)=m₁/n, P(В)=m₂/n.
В силу несовместимости событий А и В событию А+В благоприятствует m₁+m₂ случаев. Следовательно, P(A+В) = (m₁+m₂)/n=m₁/n+m₂/n = P(A)+P(В). Теорема доказана.
Напомним, что несколько событий образуют полную группу событий (полную систему), если они являются единственно возможными и несовместимыми исходами испытания. Это означает, что в результате испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий.
Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.
Это следует из того, что сумма событий, образующих полную группу, является достоверным событием, вероятность которого равна единице.
Частным случаем событий, образующих полную группу, являются противоположные события.
Два несовместимых события, одно из которых обязательно должно произойти, называются противоположными.
Событие, противоположное событию A, будем обозначать .
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.