Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Тема 3: Повторные независимые испытания

Тема 4: Дискретные случайные величины

ПЛАН
1. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
2. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости.
3. Локальная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости.
4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа, её следствия и условия их применимости.
5. Понятие случайной величины и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения.

1. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

Схемой Бернулли называется последовательность п независимых повторных испытаний, т.е. многократно повторяющихся испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с постоянной вероятностью Р(А) = р.
При этом испытания называются независимыми относительно события А, если вероятность наступления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других испытаний.
Теорема 1. Если вероятность р наступления события A в каждом испытании постоянна, то вероятность P_m,n того, что событие А наступит m раз в п независимых повторных испытаниях, равна
,
где — вероятность не наступления события А в каждом испытании.
Доказательство. Обозначим через B_m событие, состоящее в том, что в п независимых повторных испытаниях событие А наступит m раз.
Событие B_m есть сумма несовместимых событий - вариантов события B_m. Каждый вариант определяется номерами тех m испытаний, которые завершились появлением события А.
Число всех вариантов равно, очевидно, .
Вероятность каждого варианта ввиду независимости испытаний равна .
По теореме сложения для несовместимых событий получаем . Теорема доказана.