Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа, её следствия и условия их применимости

Теорема (интегральная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность р наступления события A в каждом испытании постоянна и отличается от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления событие А в п независимых повторных испытаниях заключено в пределах от a до b (включительно), при достаточно большом числе п приближенно равна
,
где ; и .
(х) – функция Лапласа, табулированная в приложении II .
Условия применения:
n – велико, а p и q – не очень малы, так что npq20 .
Пользуясь таблицей, можно применять свойства функции (х):

1. 
   Функция (х) является нечетной, т.е. (-х)= -(х).
   
2. 
   Функция (х) возрастает на R.
   
3. 
   (х)1 при + . Практически можно считать, что (х)1 уже при x>4.
   

Рассмотрим следствия интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
Следствие. Если вероятность р наступления события A в каждом испытании постоянна и отличается от 0 и 1, то при достаточно большом числе п независимых повторных испытаний вероятность того, что:
а) число m наступлений события А отличается от среднего значения пp не более, чем на величину >0 (по абсолютной величине), приближенно равна
;
б) частость события А заключена в пределах от  до  (включительно), приближенно равна
, где и ;
в) частость события А отличается от его вероятности p не более чем на величину >0 (по абсолютной величине), приближенно равна
.
Условия применения формул совпадают с условиями применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа:
n – велико, а p и q – не очень малы, так что npq20 .
Доказательство.
а) неравенство m-np равносильно двойному неравенству np-  m  np+ . Следовательно, по интегральной формуле Муавра-Лапласа
.