Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

3. Математическое ожидание и дисперсия числа m и частости m/n наступлений события в п повторных независимых испытаниях

Математическое ожидание и дисперсия числа т и частости появлений события при n повторных независимых испытаниях могут быть также вычислены и по формулам:

.	(16)
.	(17)

Теорема 1. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, равно M(X)=np, а ее дисперсия равна D(X)=npq.
Доказательство. Представим случайную величину Х как сумму n независимых случайных величин Х= Х₁+ Х₂+…+ Х_k+…+ Х_n , где случайная величина Х_k выражает число наступлений события А в k-ом испытании (k = 1, 2, … , n) и имеет закон распределения

	Xk:	xi	0	1
		pi	q	p

Вычислим математическое ожидание M(X_k) = x₁p₁ + x₂p₂ = 0q+1p = p и дисперсию
D(X_k) = (x₁-p)²p₁ + (x₂-p)²p₂ = (0-p)²q + (1-p)²p = p²q + q²p = pq (p+q) = pq .
Следовательно, M(X)= M(X₁)+ M(X₂)+…+ M(X_n) = p+ p+…+ p = np ,
D(X)= D(X₁)+ D(X₂)+…+ D(X_n) = pq + pq +…+ pq = npq . Теорема доказана.
Следствие. Математическое ожидание частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p, равно p, то есть , а ее дисперсия рана .
Доказательство.
Если Х –дискретная случайная величина, распределенная по биномиальному закону, то частость события есть . Следовательно,
, .

4. Биномиальный закон распределения и закон Пуассона

Определение 1. Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами p и n, если она принимает значения 0, 1, 2, … , m, … , n с вероятностями
,
где 0<p<1, q=1-p, m = 0, 1, 2, … , n . Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

X:	xi	0	1	2		m		n
	pi	q^n						p^n

Заметим, что
.
Вспоминая формулу Бернулли, можно сделать вывод о том, что биномиальный закон распределения является законом распределения числа X=m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А может произойти с одной и той же вероятностью p.
Теорема 1. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, равно M(X)=np, а ее дисперсия равна D(X)=npq.
Доказательство. Представим случайную величину Х как сумму n независимых случайных величин Х= Х₁+ Х₂+…+ Х_k+…+ Х_n , где случайная величина Х_k выражает число наступлений события А в k-ом испытании (k = 1, 2, … , n) и имеет закон распределения

	Xk:	xi	0	1
		pi	q	p

Вычислим математическое ожидание M(X_k) = x₁p₁ + x₂p₂ = 0q+1p = p и дисперсию
D(X_k) = (x₁-p)²p₁ + (x₂-p)²p₂ = (0-p)²q + (1-p)²p = p²q + q²p = pq (p+q) = pq .
Следовательно, M(X)= M(X₁)+ M(X₂)+…+ M(X_n) = p+ p+…+ p = np,
D(X)= D(X₁)+ D(X₂)+…+ D(X_n) = pq + pq +…+ pq = npq. Теорема доказана.
Определение 2. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона с параметром , если она принимает значения 0, 1, 2, … , m, … (бесконечное но счетное множество значений) с вероятностями
,
где m = 0, 1, 2, … . Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

	X:	Xi	0	1	2		m	
		pi	e^-^	e^-^				

Заметим, что .
Теорема 2. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, равны параметру  , т. е. M(X)= и D(X)= .
Доказательство. Вычислим математическое ожидание случайной величины Х по формуле .
.
Дисперсию случайной величины Х вычисляем по формуле
.

.
Следовательно, D(X) = (² + ) - ² =  . Теорема доказана.
Замечание 1. При достаточно больших значениях n и малых значениях p при условии, что произведение np , закон распределения Пуассона является хорошим приближением биномиального закона. Так как при этом вероятность p наступления события А в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона часто называют законом редких явлений.
ЛЕКЦИЯ 5

Тема 5: Непрерывные случайные величины.

Нормальный закон распределения

ПЛАН
1. Функция распределения случайной величины, ее свойства и график.
2. Непрерывная случайная величина (НСВ). Плотность вероятности НСВ, ее определение и свойства
3. Равномерный закон распределения и его числовые характеристики.

1. Функция распределения случайной величины, ее свойства и график

Функция распределения случайной величины — одно из фундаментальных понятий теории вероятностей, поскольку является универсальным описанием любой случайной величины. Функция распределения F(x) представляет вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е. F(x) = Р(Х < х). Необходимо знать свойства функции распределения F(x) .
Определение 1. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), которая определяется равенством
.
Функцию F(x) называют также интегральной функцией распределения.
Свойства функция распределения F(x) случайной величины Х:

1. 
   F(x) — неотрицательная функция.
   
2. 
   F(x) — неубывающая функция.
   
3. 
   ; .
   
4. 
   Приращение F(x) на промежутке [х₁; х₂) равно вероятности того, что случайная величина Х принимает значение из этого промежутка:
   

F(x₂) – F(x₁) = P(x₁  Х < x₂).
Доказательство. Свойства 1-3 вытекают непосредственно из определения функции F(x). Свойство 4 следует из теоремы сложения вероятностей: F(x₂) = P(Х < x₂) = P(Х < x₁) + P(x₁  Х < x₂) = F(x₁) + P(x₁  Х < x₂).
Отсюда P(x₁  Х < x₂) = F(x₂) – F(x₁).
Функция распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков F(x) равна 1.

2. Непрерывная случайная величина (НСВ).

Плотность вероятности НСВ, ее определение и свойства

Понятие непрерывной случайной величины является непосредственным обобщением понятия дискретной случайной величины. Оно приводит к новому понятию плотности вероятности и к новым определениям математического ожидания и дисперсии.
Хотя тема в основном имеет теоретический характер и не используется в задачах, предлагаемых в контрольных работах, без ее изучения нельзя освоить последующие темы.
Определение 1. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.
При описании непрерывной случайной величины принципиально невозможно выписать и занумеровать все её значения, принадлежащие даже достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное множество, называемое «континуум».
Теорема 1. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равно нулю.
Доказательство.
.
Следствие. Для непрерывной случайной величины Х справедливы равенства:
P(x₁ < X  x₂) = P(x₁ < X < x₂) = P(x₁  X < x₂) = P(x₁  X  x₂).
Пусть Х – НСВ. Рассмотрим для некоторого числа х вероятность P(х  Х  х + х) попадания НСВ на промежуток [х; х + х].
Средняя плотность вероятности на этом промежутке равна .
Очевидно, что если х  0, то P(х  Х  х + х)  0.