Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

5. Понятие случайной величины и ее описание.

Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения.

Одним из фундаментальных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.
Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно — заранее неизвестно).
Случайные величины будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z, … , а их значения  соответствующими строчными буквами x, y, z, … .
Наиболее полным описанием случайной величины является ее закон распределения.
Определение. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Сначала рассмотрим дискретные случайные величины (ДСВ), характеризуемые конечным или бесконечным, но счетным множеством возможных значений, и соответствующими им вероятностями р_i =Р(Х = x_i).
Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан аналитически (в виде формулы), графически и в виде таблицы.
Таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, называется рядом распределения дискретной случайной величины.

	X:	x1	x2		xi		xn
		p1	p2		pi		pn

События Х = x₁, Х = x₂,  , Х = x_n, состоящие в том, что в результате испытания случайная величина Х примет соответственно значения x₁, x₂,  , x_n, являются несовместимыми и единственно возможными, т.е. образуют полную группу событий. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1, т.е. .
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми.
Если говорить более строго, то случайная величина есть функция, заданная на множестве элементарных исходов.
При решении задач случайная величина, как и случайное событие, подлежит четкому определению по условию. Ее связь со случайным событием заключается в том, что принятие ею некоторого числового значения (то есть выполнение равенства Х = x_i,) есть случайное событие, характеризуемое вероятностью Р(Х = x_i)=р_i.
Большинство задач темы связано с построением для заданной случайной величины закона распределения, т.е. таблицы вида . Решение подобных задач требует, прежде всего, четких определений случайной величины и испытания, количественный результат которого характеризуется значениями x₁, x₂, … , x_i, … , x_n.
Затем можно перейти к построению закона распределения случайной величины, а точнее — к вычислению вероятностей р_i как вероятностей событий Х = x_i. Здесь могут быть использованы приемы и методы, рассмотренные при решении задач в темах 1—3.
Общая схема решения задач на построение законов распределения включает:
1) введение и четкое описание случайной величины, о которой идет речь;
2) описание множества ее возможных значений x₁, x₂, … , x_i, … , x_n;
3) рассмотрение выполнения каждого из равенств Х = х_i, как случайного события;
4) вычисление вероятностей этих событий с помощью основных теорем и формул;
5) проверка правильности составленного распределения с помощью равенства .
Особое внимание следует обратить на числовые характеристики случайной величины, призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения, в частности, на математическое ожидание и дисперсию и их свойства.