Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

ЛЕКЦИЯ 4

Тема 4: Дискретные случайные величины

ПЛАН
1. Математические операции над дискретными случайными величинами.
2. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, их свойства.
3. Математическое ожидание и дисперсия числа m и частости m/n наступлений события в п повторных независимых испытаниях.
4. Биномиальный закон распределения и закон Пуассона.

1. Математические операции над дискретными случайными величинами

Пусть даны две случайные величины:

	X:	xi	x1	x2		xn
		pi	p1	p2		pn

и

	Y:	yi	y1	y2		ym
		pi	p1	p2		pm

Произведением случайной величины Х на постоянную величину k называется случайная величина kX, которая принимает значения kx_i с теми же вероятностями p_i (i=1, 2, … , n).
m-ой степенью случайной величины Х называется случайная величина X^m, которая принимает значения x_i^m с теми же вероятностями p_i (i=1, 2, … , n).
Суммой случайных величин Х и Y называется случайная величина Х+Y, которая принимает все возможные значения вида x_i+y_j (где i=1, 2, … , n и j=1, 2, … , m) с вероятностями p_ij того, что случайная величина X примет значение p_i , а случайная величина Y примет значение p_j , т.е. p_ij=P[(X= x_i)  (Y= y_j)] .
Произведением случайных величин Х и Y называется случайная величина ХY, которая принимает все возможные значения вида x_iy_j (где i=1, 2, … , n и j=1, 2, … , m) с вероятностями p_ij того, что случайная величина X примет значение p_i , а случайная величина Y примет значение p_j , т.е. p_ij=P[(X= x_i)(Y= y_j)] .
Если случайные величины Х и Y независимы, т.е. независимы любые события X= x_i и Y= y_j , то по теореме умножения вероятностей для независимых событий
p_ij=P(X= x_i)P(Y= y_j)= p_ip_j .

2. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, их свойства

Особое внимание следует обратить на числовые характеристики случайной величины, призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения, в частности, на математическое ожидание и дисперсию, и их свойства.
Определение 1. Математическим ожиданием, или средним значением, М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие их вероятности:
.
Свойства математического ожидания:

1. 
   Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
   

M(C)=C .

2. 
   Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
   

M(kX)=kM(X) .

3. 
   Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
   

M(X+Y) = M(X)+M(Y) .

4. 
   Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
   

M(XY) = M(X)M(Y) .

5. 
   Если все значения случайной величины увеличить на постоянную С, то математическое ожидание этой величины увеличиться на С:
   

M(X+С) = M(X)+С .

6. 
   Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:
   

M(X-M(X)) = 0.
Доказательство. 2. Случайная величина kX принимает значения kx_i с теми же вероятностями p_i (i=1, 2, … , n), что и величина Х. Следовательно
.
Только математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину. Оно не характеризует степень отклонения принимаемых значений от среднего значения.
Определение 1. Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:
D(X)=M[X-M(X)]².
В качестве характеристики рассеяния нельзя брать математическое ожидание M(X-M(X)) отклонения случайной величины от ее математического ожидания, ибо эта величина всегда равна нулю. С другой стороны, можно было бы рассмотреть величину D(X)=M[X-M(X)] . Но эта характеристика менее удобна для вычисления, чем дисперсия.
Если случайная величина Х является дискретной с конечным числом значений, то
.
Если случайная величина Х является дискретной с бесконечным числом значений, то
,
если числовой ряд сходится.
Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины Х, поэтому в качестве характеристики рассеяния часто используют величину .
Определение 1. Средним квадратическим отклонением _x случайной величины Х называется арифметический квадратный корень из ее дисперсии:
.
Свойства дисперсии случайной величины :

1. 
   Дисперсия постоянной величины равна нулю:
   

D(C)=0 .

2. 
   Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат:
   

D(kX)=k²D(X) .

3. 
   Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:
   

D(X)=M(X²) -[M(X)]² .

4. 
   Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
   

D(X+Y) = D(X)+D(Y) .
Доказательство. 2. Используя свойство 2 математического ожидания случайной величины X , получаем :
D(kX) = M[kX-M(kX)]² = M[kX-kM(X)]² = k² M[X-M(X)]² = k²D(X).
Замечание. Числовые характеристики случайной величины Х, являясь неслучайными, постоянными, играют существенную роль в теории вероятностей. Нередко удается решить вероятностные задачи, пользуясь только числовыми характеристиками случайной величины Х, не рассматривая закон ее распределения.