ЛЕКЦИЯ 4
Тема 4: Дискретные случайные величины
ПЛАН
1. Математические операции над дискретными случайными величинами.
2. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, их свойства.
3. Математическое ожидание и дисперсия числа m и частости m/n наступлений события в п повторных независимых испытаниях.
4. Биномиальный закон распределения и закон Пуассона.
1. Математические операции над дискретными случайными величинами
Пусть даны две случайные величины:
|
X:
|
xi
|
x1
|
x2
|
|
xn
|
pi
|
p1
|
p2
|
|
pn
|
и
|
Y:
|
yi
|
y1
|
y2
|
|
ym
|
pi
|
p1
|
p2
|
|
pm
|
Произведением случайной величины Х на постоянную величину k называется случайная величина kX, которая принимает значения kxi с теми же вероятностями pi (i=1, 2, … , n).
m-ой степенью случайной величины Х называется случайная величина Xm, которая принимает значения xim с теми же вероятностями pi (i=1, 2, … , n).
Суммой случайных величин Х и Y называется случайная величина Х+Y, которая принимает все возможные значения вида xi+yj (где i=1, 2, … , n и j=1, 2, … , m) с вероятностями pij того, что случайная величина X примет значение pi , а случайная величина Y примет значение pj , т.е. pij=P[(X= xi) (Y= yj)] .
Произведением случайных величин Х и Y называется случайная величина ХY, которая принимает все возможные значения вида xiyj (где i=1, 2, … , n и j=1, 2, … , m) с вероятностями pij того, что случайная величина X примет значение pi , а случайная величина Y примет значение pj , т.е. pij=P[(X= xi)(Y= yj)] .
Если случайные величины Х и Y независимы, т.е. независимы любые события X= xi и Y= yj , то по теореме умножения вероятностей для независимых событий
pij=P(X= xi)P(Y= yj)= pipj .
2. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, их свойства
Особое внимание следует обратить на числовые характеристики случайной величины, призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения, в частности, на математическое ожидание и дисперсию, и их свойства.
Определение 1. Математическим ожиданием, или средним значением, М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие их вероятности:
.
Свойства математического ожидания:
Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
M(C)=C .
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
M(kX)=kM(X) .
Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
M(X+Y) = M(X)+M(Y) .
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M(XY) = M(X)M(Y) .
Если все значения случайной величины увеличить на постоянную С, то математическое ожидание этой величины увеличиться на С:
M(X+С) = M(X)+С .
Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:
M(X-M(X)) = 0.
Доказательство. 2. Случайная величина kX принимает значения kxi с теми же вероятностями pi (i=1, 2, … , n), что и величина Х. Следовательно
.
Только математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину. Оно не характеризует степень отклонения принимаемых значений от среднего значения.
Определение 1. Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:
D(X)=M[X-M(X)]2.
В качестве характеристики рассеяния нельзя брать математическое ожидание M(X-M(X)) отклонения случайной величины от ее математического ожидания, ибо эта величина всегда равна нулю. С другой стороны, можно было бы рассмотреть величину D(X)=M[X-M(X)] . Но эта характеристика менее удобна для вычисления, чем дисперсия.
Если случайная величина Х является дискретной с конечным числом значений, то
.
Если случайная величина Х является дискретной с бесконечным числом значений, то
,
если числовой ряд сходится.
Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины Х, поэтому в качестве характеристики рассеяния часто используют величину .
Определение 1. Средним квадратическим отклонением x случайной величины Х называется арифметический квадратный корень из ее дисперсии:
.
Свойства дисперсии случайной величины :
Дисперсия постоянной величины равна нулю:
D(C)=0 .
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат:
D(kX)=k2D(X) .
Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:
D(X)=M(X2) -[M(X)]2 .
Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D(X+Y) = D(X)+D(Y) .
Доказательство. 2. Используя свойство 2 математического ожидания случайной величины X , получаем :
D(kX) = M[kX-M(kX)]2 = M[kX-kM(X)]2 = k2 M[X-M(X)]2 = k2D(X).
Замечание. Числовые характеристики случайной величины Х, являясь неслучайными, постоянными, играют существенную роль в теории вероятностей. Нередко удается решить вероятностные задачи, пользуясь только числовыми характеристиками случайной величины Х, не рассматривая закон ее распределения.
Do'stlaringiz bilan baham: |