Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события
Вероятность события есть численная мера степени объективной возможности наступления события. Вероятность события А будем обозначать символом P(A) (от лат. probabilitas - "вероятность").
Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и являются равновозможными. Такие исходы называются элементарными исходами, случаями или шансами. При этом говорят, что испытание сводится к схеме случаев или "схеме урн" (ибо любую вероятностную задачу для рассматриваемого испытания можно заменить эквивалентной задачей с урнами и шарами разных цветов).
Согласно классическому определению, вероятность события А равна отношению числа случаев m, благоприятствующих ему, к общему числу случаев n, т.е.
.
Эту формулу следует рассматривать не как определение, а как метод вычисления вероятностей для испытаний, сводящихся к схеме случаев.
Отметим свойства вероятности события:

1. 
   Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е. 0P(A)1.
   
2. 
   Вероятность достоверного события равна единице.
   
3. 
   Вероятность невозможного события равна нулю.
   

События, вероятности которых очень малы (близки к нулю), называются практически невозможными.
События, вероятности которых очень велики (близки к единице), называются практически достоверными.
3. Статистическое определение вероятности события
и условия его применимости
Классическое определение вероятности применимо только для тех событий, которые могут появиться в результате испытаний, обладающих симметрией возможных исходов. Однако существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения. В первую очередь это события, которые не являются равновозможными исходами испытания.
Есть другой подход при оценке вероятности событий.
Согласно статистическому определению, вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е.
, где:
– статистическая вероятность события А;
w(A) – относительная частота (частость) события А;
m – число испытаний, в которых появилось событие А;
n – общее число испытаний.
Статистическое определение вероятности события применимо не к любым событиям с неопределенным исходом, а только к тем, которые обладают определенными свойствами:

1. 
   События должны быть исходами тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.
   
2. 
   События должны обладать статистической устойчивостью, или устойчивостью относительных частот (опыт Бюффона появления герба XVIIIв. - 4040 - 0,5069; опыт Пирсона XIX в. - 23000 - 0,5005).
   
3. 
   Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико.
   

Свойства вероятности, верные при классическом определении, сохраняются и при статистическом определении вероятности.
ЛЕКЦИЯ 2