Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Доказательство. Пусть Х  дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

X:	x1	x2		xi		xn
	p1	p2		pi		pn

Пусть значения x₁, x₂,  , x_k не превосходят  , а значения x_k+1,  , x_n больше .
По теореме сложения вероятностей .
Но . Это вытекает из неотрицательности случайной величины Х и определения математического ожидания. Следовательно, . Теорема доказана.
Теорема 2. Для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева:
, где a=M(X), >0.
Доказательство. Применим лемму Чебышева к случайной величине и положительному числу ². Получим неравенство , равносильное неравенству . Теорема доказана.
Замечание. События X-a> и X-a противоположны, следовательно:
.
Запишем неравенство Чебышева для некоторых типов случайных величин.
1. Для случайной величины Х=m, имеющей биномиальный закон распределения с математическим ожиданием np и дисперсией npq, справедливо неравенство:
.
2. Для частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью , и имеющей дисперсию , справедливо неравенство:
.