Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

3. Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин. Теорема Чебышева и ее значение

Теорема 1. (Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин). Если дисперсии n независимых случайных величин Х₁, Х₂, … , Х_n , имеющих математическое ожидание, ограничены одной и той же постоянной С, то справедливо неравенство
.
Доказательство. Пусть . Тогда

.
По неравенству Чебышева для случайной величины Х и полученной оценке D(X)
.
Теорема 2. (Теорема Чебышева). Если дисперсии n независимых случайных величин Х₁, Х₂, … , Х_n ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий a₁, a₂, … , a_n, т.е.

или
.
Доказательство. По неравенству Чебышева для средней арифметической случайных величин
.
Но . Теорема доказана.

4. Закон больших чисел. Теорема Бернулли и ее практическое значение

Теорема Бернулли. Частость события в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р, при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к вероятности р этого события в отдельном испытании:
,
или
.
Доказательство. По неравенству Чебышева для частости события
.
Но . Теорема доказана.
Отметим, что термин "закон больших чисел" ввел Пуассон, доказавший теорему (1837 г.), являющуюся непосредственным обобщением теоремы Бернулли.
Теорема Пуассона. Частость события в n повторных испытаниях, в каждом из которых оно может произойти соответственно с вероятностями р₁, р₂, … , р_n, при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей события в отдельных испытаниях:
.
Русский математик А.А. Марков (1856-1922) предложил применять название "закон больших чисел" ко всей совокупности обобщений теоремы Бернулли, в которых устанавливается приближение средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.
В широком смысле под термином "закон больших чисел" понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке А.Н. Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая.
ЛЕКЦИЯ 9