Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Определение 4. Дисперсией s² вариационного ряда называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической:
.
Дисперсию s² часто называют эмпирической или выборочной, отмечая, что она находится по опытным или статистическим данным.
Определение 5. Средним квадратическим отклонением s вариационного ряда называется арифметический квадратный корень из ее дисперсии:
.
Свойства дисперсии случайной величины :

1. 
   Дисперсия постоянной равна нулю.
   
2. 
   Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число k раз, то дисперсия увеличиться (уменьшиться) в k² раз:
   

.

3. 
   Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то дисперсия не изменится:
   

.

4. 
   Дисперсия равна разности между средней арифметической квадратов вариантов и квадратом средней арифметической:
   

.

5. 
   Если вариационный ряд состоит из нескольких групп наблюдений, то общая дисперсия равна сумме средней арифметической групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии:
   

, где
; ; .
Формула свойства 5 известна в статистике как правило сложения дисперсий.
Вычисление средней арифметической и дисперсии вариационного ряда можно упростить, используя следующие формулы:
; ,
где u_i определяются по формулам: .
Эти формулы значительно упрощают расчеты, если в качестве постоянной k взять величину интервала по х, а в качестве с – середину серединного интервала (если серединных интервалов два, то середину любого из этих интервалов).
Замечание. Вариационный ряд является статистическим аналогом (реализацией) распределения признака (случайной величины), а его числовые характеристики – средняя арифметическая и дисперсия s² – аналогами соответствующих числовых характеристик случайной величины – математического ожидания М(Х) и дисперсии ². Точно так же понятие частости (относительной частоты) для вариационного ряда аналогично понятию вероятности для случайной величины.
Необходимо четко знать формулы вычисления числовых характеристик ряда. Более сложные формулы, используемые в упрощенном способе расчета, являются вспомогательными, и их сложность объясняется переходом в расчетах от рассматриваемых вариантов к условным.