Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

3. Понятие об оценке параметров генеральной совокупности.

Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность

На практике редко встречается ситуация, когда изучаемый закон распределения неизвестен полностью. Чаще вид закона распределения известен заранее (из теоретических соображений) и требуется найти только неизвестные параметры, от которых он зависит ( в распределении Пуассона; a и ² для нормального распределения и т.д.).
Более того, в некоторых задачах сам закон распределения не существен, а требуется найти только его числовые характеристики.
В связи с этим возникает следующая задача: по известным значениям x₁, x₂,  , x_n случайной величины Х, полученным в результате n независимых опытов, оценить значение некоторого параметра  закона распределения случайной величины Х.
Ясно, что любая оценка для  (обозначим ее ) представляет собой некоторое выражение, зависящее от x₁, x₂,  , x_n , т.е. . Таким образом, сама оценка является случайной величиной, зависящей как от закона распределения случайной величины Х, так и от числа опытов n.
Свойства оценок:

1. 
   Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е. ;
   
2. 
   Оценка называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру: ;
   
3. 
   Несмещенная оценка параметра  называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра , вычисленных по выборкам одного и того же объема n.
   

На практике, в целях упрощения расчетов, не всегда проводят оценку, удовлетворяющую свойствам 1 и 3. Нередко целесообразно использовать незначительно смещенные оценки или оценки, обладающие большей дисперсией по сравнению с эффективными оценками. С другой стороны, практический смысл имеют только состоятельные оценки.
ЛЕКЦИЯ 10