Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

4. Средняя квадратическая ошибка выборки

при оценке генеральной доли и генеральной средней

Теорема 1. Вероятность того, что отклонение выборочной доли от генеральной доли не превосходит числа  (по абсолютной величине), равна
, где .
Последняя формула называется формулой доверительной вероятности при оценке доли признака.
Определение 1. Средней квадратической ошибкой выборки при оценке генеральной доли признака называется среднее квадратическое отклонение выборочной доли _w собственно-случайной выборки (для бесповторной выборки обозначается _w).
Следствие 1. При заданной доверительной вероятности  предельная ошибка выборки равна t-кратной величине средней квадратической ошибки, т.е. .
Следствие 2. Доверительный интервал для генеральной доли может быть найден по формуле .
Используя формулы дисперсий и при оценке генеральной доли признака соответственно при повторной и бесповторной собственно-случайной выборке, можно получить формулы средних квадратических ошибок:

,

.

Заметим, что генеральная доля p неизвестна, но при достаточно большом объеме выборки практически достоверно, что pw. Более того, если даже выборочная доля w неизвестна, то в качестве pq можно взять его максимально возможное значение 0,25.
Теорема 2. Вероятность того, что отклонение выборочной средней от генеральной средней не превосходит числа  (по абсолютной величине), равна
, где .
Последняя формула называется формулой доверительной вероятности для средней.
Доказательство теоремы основано на теореме Ляпунова и свойстве 2 случайной величины, распределенной по нормальному закону распределения.
Определение 2. Средней квадратической ошибкой выборки при оценке генеральной средней называется среднее квадратическое отклонение выборочной доли собственно-случайной выборки (для бесповторной выборки обозначается ).
Следствие 3. При заданной доверительной вероятности  предельная ошибка выборки равна t-кратной величине средней квадратической ошибки, т.е. .
Следствие 4. Доверительный интервал для генеральной средней может быть найден по формуле .
Используя формулы дисперсий и при оценке генеральной средней соответственно при повторной и бесповторной собственно-случайной выборке, можно получить формулы средних квадратических ошибок:

,

.

Заметим, что дисперсия ² неизвестна, но при достаточно большом объеме выборки практически достоверно, что s²².