Кириш §. Лобачевский ва унинг аксиомалари

Курс иш мавзусининг объекти. Лобачевский текислигида эгри чизиқларни ўрганиш ўқитиш методикаси ва жараёни.
Курс иш мавзусининг предмети. Лобачевский текислигида эгри чизиқларни ўрганиш мавзусини ўқитиш методлари.
Курс иш мавзусининг таркиби. Мазкур курс иши кириш қисмидан, бешта параграф хулоса, фойдаланилган адабиётлар рўйхатидан иборат.


1-§. Лобачевский ва унинг аксиомалари
Л обочевский геометриясини қуришда биз евклид геометриясини қуришда ишлатилган мулоҳазаларга асосланамиз.Нуқталар, тўғри чизиқлар, текислсклардан иборат асосий объектлар ва улар орасидаги “Қарашлик”, “Орасида ётади” ва “конгруентлик” дан иборат асосий муносабатлар маълум деб ҳисоблаймиз. Лабочевский геометриясининг аксиомалари сифатида абсолют геометриянинг аксиомалари (И-ИВ) ва Лабочевскийнинг қўйидаги В¹ аксиомаси қабул қилинади:

Агар АБ тўғри чизиқ ва унда ётмаган П нуқта берилган бўлса, П нуқтадан ўтиб АБП текислигида ётувчи АБ тўғри чизиқ билан кесишмайдиган камида 2та тўғри чизиқ ўтади.

Шуни таъкидлаш лозимки, бу геометрияда В-постулот ўринли бўлмагани учун, унда шу постулотга эквевалент бўлган жумлалар ҳам ўринли эмасдир. Аммо В-постулотга эквевалент жумлаларни инкор этишнинг ўзи Лобачевский аксиомасига эквевалентдир, шу сабабдан бу инкорлар Лобачевский геометриясида кучга эга. Жумладан:

• 
  Учбурчак ички бурчакларининг йиғиндиси 2д га тенг эмас;
  
• 
  Учбурчак ички бурчакларининг йиғиндиси турли учбурчаклар учун турли қийматга эга;
  
• 
  Ҳар қандай тўртбурчак ички бурчакларининг йиғиндиси 360⁰га тенг эмас;
  
• 
  Айланага ички чизилган мунтазам олти бурчак томони бу айлананинг радиусига тенг эмасдир (Катта эканлиги исбот қилинади) ва ҳ.к.
  

В ¹ постулотдан, А нуқта орқали (Аа) текисликнинг а тўғри чизиғи билан кесишмайдиган чексиз кўп тўғри чизиқлари ўтади деган хулоса келиб чиқади. Масалан, маркази А нуқтадан ва ўзлари бАC бурчак билан вертикал бўлган бурчакда ётувчи барча тўғри чизиқлар дастаси шундай тўғри чизиқдан иборатдир.
Ҳақиқатдан ҳам, б тўғри чизиқда шундай Б нуқтани оламизки, Б нуқта билан а тўғри чизиқ c тўғро чизиқдан турли тарафларда ётсин. Б ни а тўғри чизиқнинг бирор Д нуқтаси билан туташтирайлик БД кесма C нуқтада кесишади. Н-ДC кесманинг бирор ички нуқтаси бўлсин. АН тўғри чизиқ а тўғри чизиқ билан кесишмайди. Ҳақиқатдан, агар АН тўғри чизиқ а тўғри чизиқ билан А дан Н га борган ёъналишдаги С нуқтада кесишганда эди, Паш аксиомасини НДС учбурчак ва c тўғри чизиққа қўллаб, c тўғри чизиқ ДС билан Д ва С орасидаги нуқтада кесишади деган хулосага келар эдик, аммо бу, қилинган фаразга (аксиомага) зиддир, чунки c тўғри чизиқ билан кесишмайди деб фараз қилинган эди. Худди шунингдек, НА бошқа ёъналишда ҳам а билан кесишмайди.
Агар В постулотдан фойдаланмай туриб, учбурчак ички бурчакларининг йиғиндиси 2д дан катта бўлолмайди деган хулосани исбот қилиш мумкинлигини эътиборга олсак, у ҳолда Лобачевский текислигида учбурчак ички бурчакларининг йиғиндиси 2д дан кичик бўлади. Бундан ташқари, ҳамма учбурчакларда ички бурчаклар йиғиндиси бир хил деган жумлани В постулотга эквивалент эканлигини ҳисобга олсак, Лобачевский текислигидаги турли учбурчак ички бурчакларининг йиғиндиси умуман олганда турли эканлига келиб чиқади. Юқоридаги муҳокамалардан, Лобачевский текислигида, агар бир учбурчакнинг учта бурчаги иккинчи учбурчакнинг учта бурчагига мос равишда тенг бўлса, бу учбурчаклар бир-бирига тенгдир, деган теорема мавжудлиги келиб чиқади. Худди шунингдек, Лобачевский текислигида қўйидаги теоремаларнинг м авжудлигини кўрсатиш мумкин.
1.ДОC ўткир бурчак қандай бўлса-да, доимо шундай тўғри чизиқ мавжудки у бурчакнинг бир томонига перпендикуляр бўлиб, иккинчи томони билан кесишмайди. (бу ҳолни тушунтириш учун,Евклид текислигида гипербола ва унинг асимптоасини олиб кўриш керак)
2. Берилган тўгри чизиқнинг бир тарафига жойлашиб, ундан берилган масофада жойлашган нуқталарнинг геометрик ўрни, ҳеч бир учта нуқтаси бир тўғри чизиқда ётмаган эгри чизиқдан иборат.
3.Кесишмайдиган икки тўғри чизиқ учинчи тўғри чизиқ билан кесилса, ички алмашинувчи бурчаклар, умуман олганда бир-бирига тенг эмасдир.
Лобачевский текислигидаги параллел тўғри чизиқлар
Фараз қилайлик текислигида АБ тўғри чизиқ билан унда ётмаган П нуқта берилган бўлсин. Маркази П нуқтада бўлган дастани текширамиз. Агар - Лобачевский текислиги бўлса, В¹ га асосан АБ билан кесишмайдиган камида иккита тўғри чизиқ мавжуд. Лекин шундай тўғри чизиқлар чексиз эканлигини исботладик. Дезекинд аксиомасини татбиқ этиб, қаралатотган дастада берилган тўғри чизиқ билан кесишадиган тўғри чзиқлар синфини, унинг билан кесишмайдиганлар синфидан ажратиб турувчи иккита чегаравий тўғри чизиқлар мавжудлигини исбот қилиш мумкин. Бу чегаравий тўғри чизиқлар АБ тўғри чизиқ билан кесишмайди. Улар АБ тўғри чизиққа Лобачвский маъносидаги параллел тўғри чизиқлар деб аталади. Бундан кейин, Лобачевский текислигида ёъналган (У дан В га) тўғри чизиқлар тушунчасини киритамиз. Бунда, У ва В нуқталар тўғри чизиқнинг жуда узоқ нуқталари деб фараз қилинади.
А нуқтада
(АД¹) - а га н¹н ёъналишда, (АД) а га л¹л ёъналишда параллел тўғри чизиқлар дейилади.
<БАД=<БАД^{1 =} ₀ параллеллик бурчаги дейилади. АБ- шу бурчакка мос параллеллик кесмаси дейилади.
Параллел тўғри чизиқнинг асосий хоссалари.

1. 
   Агар А нуқтага нисбатан АД параллел ПН бўлса (Лобачевский маъносида), у ҳолда АД тўғри чизиқнинг C нуқтаси учун ҳам АД параллел ПН бўлади;
   
2. 
   Агар АД параллел ПН бўлса, ПН параллел АД бўлади;
   

3.Икки тўғри чизиқнинг ҳар бири маълум ёъналишда битта тўғри чизиққа параллел бўлса, уларнинг ўзи ҳам шу ёъналишда ўзаро параллел бўлади;
4. Икки параллел тўғри чизиқдан биридаги нуқтадан иккинчисигача бўлган масофа параллеллик ёъналиши томон етарлича кичиклашиб боради, параллеллик ёъналишига тескари томонда эса, бу масофа етарлича катталашиб боради;
5.Ҳар қандай ўткир бурчакнинг бир вақтда бир томонига перпендикуляр бўлиб, иккинчи томонга параллел тўғри чизиқ мавжуд ёки “ҳар қандай ўткир бурчак параллеллик бурчаги бўла олади”.


Бизга маълумки, ихтиёрий ўткир бурчак <АОБ нинг ОА томонига тик ва унинг иккинчи ОБ томони билан кесишмайдиган биринчи П перпендикуляр ОБ томонга параллелдир. Ҳақиқатдан ҳам, 1) ОБ ва П кесишмайди, 2) <ОПП бурcвҳакнинг исталган Р тўғри чизиқ ОБ билан кесишади. Чиндан ҳам Р нурда С нуқтани олиб ва ОА га СҚ перпендикулярни ўтказиб, олдингидек, бу перпендикулярнинг ОБ билан (Р нуқтада) кесишганини кўрамиз. энди ОҚР учбурчак билан Р тўғри чизиққа Паш аксиомасини қўлласак, Р тўғри чизиқнинг ОР билан О ва Р нуқталар орасида кесишади деган хулосага келамиз. Бундан сўнг юқоридаги жумлага келиш мумкин.