Иккинчи тартибли чизиқларнинг каноник тенгламалари

Иккинчи тартибли чизиқларнинг каноник тенгламалари.

Чизиқ иккинчи даражали

Ах² + 2Вхy + Сy² + 2Dх + 2Еy + F = 0, (4.1)
тенглама билан берилган бўлсин. Бу ерда А, В, С, D, Е, F – берилган ҳақиқий сонлар. Бунда А² + В² + С²  0, яъни А, В, С сонлар бир вақтда нолга тенг эмас.
Бу чизиқ иккинчи тартибли чизиқ дейилади.
(4.1) тенгламани қаноатлантирувчи координаталари ҳақиқий бўлган (х, y) нуқталар мавжуд бўлмаслиги ҳам мумкин. Бу ҳолда, (4.1) тенглама мавҳум чизиқни аниқлайди. Масалан, мавҳум айлана: х² + y² = -1.
(4.1) умумий тенгламанинг муҳим хусусий ҳолларини кўриб чиқамиз.
Эллипс. Текисликда
(а  б  0), (4.2)
тенглама билан аниқланган чизиқ эллипс дейилади. Бунда а = b бўлганда эллипс маркази координата бошида ва радиуси а га тенг бўлган айланага айланади.
а > b ва бўлсин. Ох ўқда абсциссалари мос равишда х = -c ва х = с бўлган F₁ ва F₂ нуқталарни белгилаймиз. Бу эллипснинг фокуслари.
(4.2) эллипсни шундай нуқталарнинг геометрик ўрни сифатида аниқлаш мумкинки, унинг ҳар бир нуқтасидан F₁ , F₂ фокусларгача бўлган масофалар йиғиндиси ўзгармас 2а катталикка тенг.
Ҳақиқатан, агар эллипснинг ихтиёрий нуқтасини М(х,y) билан белгиласак,
, ,

ёки
,
бу ердан
,

,
.

Агар (4.2) тенгламада х ни – х билан алмаштирсак, у ўзгармайди – бу (4.2) эллипс Оy ўққа нисбатан симметрик чизиқ эканлигини билдиради. Худди шундай (4.2) эллипс Ох ўққа нисбатан симметрик, чунки унинг тенгламаси y ни – у билан алмаштирганда ўзгармайди. Демак, унинг тенгламасини биринчи чоракда, яъни х, y  0 бўлганда ўрганиш етарли. Эллипснинг биринчи чоракда жойлашган қисми

, о  х  а.
тенглама билан аниқланади.
Бу тенгламадан кўриниб турибдики, эллипс (0, b) ва (а, 0) нуқталардан ўтади. Шу билан бирга, унинг y ординатаси х 0, а кесмада узлуксиз ўсганда, узлуксиз камаяди.
Эллипс – чегараланган чизиқ. У маркази координата бошида, радиуси а га тенг бўлган айлана ичида жойлашади, чунки эллипснинг ихтиёрий (х, y) нуқтаси учун қуйидаги тенгсизлик ўринли: .