Маъруза №1-2

Маъруза № 9


МАВЗУ: ЎЛЧОВЛИ ФАЗОЛАР. ЎЛЧОВЛИ ФАЗОЛАРНИ ҚУРИШ. БОРЕЛЬ ТЎПЛАМЛАРИ.
Режа:

1. 
   Алгебра ва алгебра.
   
2. 
   Лемма.
   
3. 
   Борель алгебра.
   

Фараз қилайлик элементар ҳодисалар фазоси.Қуйидаги тўпламлар системаси

алгебра ҳам алгебра ҳам бўлади.
тривиаль, энг «камбағал» алгебра дейилади.
энг «бой» алгебра дейилади.
Агар у ҳолда алгебра ( -алгебра) бўлади ва тўплам ҳосил қилган алгебра ( алгебра) дейилади.
Лемма. Фараз қилайлик ни қисм тўпламлар системаси бўлсин. У ҳолда бу тўпламлар системасини ўз ичига олган минимал алгебра (минимал алгебра ) мавжуд.
Исбот. ни барча қисм тўпламлари - алгебра ҳеч бўлмаганда битта ни ўз ичига олган алгебра ва алгебра мавжуд. билан тўпламлар системасини ўз ичига олган ихтиёрий алгебра ( алгебра) га тегишли тўпламлар системасини белгилаймиз. Бу системалар минимал алгебра ( алгебра) бўлишини осон кўриш мумкин.
Ўлчов фазоларни қуриш:
ўлчовли фазо.
Фараз қилайлик, ҳақиқий сонлар ўқи ва учун ни деб шарт қўямиз ёки деб тушунамиз, чунки унинг тўлдирмасини бир хил кўринишда бўлишлигини таъминлаш учун шундай деб олинади.
Ўзаро кесишмайдиган чеклита кўринишидага интерваллар йиғиндисидан тузилган ( ни қисм тўпламларидан иборат) тўпламлар системасини орқали белгилаймиз, яъни бўлади, агар

Бу тўпламлар системасига тўпламни киритсак алгебра бўлади, лекин алгебра бўлмайди, чунки
, у ҳолда
алгебра бўлмайди.
дуб тўпламлар системасини ўз ичига олган миинмал алгебра ни белгилаймиз. Бу алгебрага Борель алгебра дейилади, унинг тўпламлари –Борель тўпламлари дейилади.
Агар орқали кўринишидаги I интерваллар системасини белгиласак ва билан ни ўз ичига олган минимал алгебрани белгиласак, у ҳолда бўлади, яъни Борель алгебра билан устма-уст тушади чунки кўринишидаги интервални ўзаро кесишмайдиган интерваллар йиғиндиси кўринишида ифодалаш мумкин.

Ҳақиқатдан ҳам ни элементлари шундай йиғинди кўринишида эди. Бундан устма-уст тушиш келиб чиқади.



Юқоридагилардан кўринадики Борель алгебра кўринишидаги интервалдан ташқари
(2) ,
интерваллар ҳам кирар экан, чунки




алгебрани кўринишда эмас балки (2) даги интервалларнинг ихтиёрий бири билан ҳам қурилса бўлади. ( ) учун белгилашлар ишлатилади.
3. ўлчовли фазо.
Фараз қилайлик, ( ларни марта декарт кўпайтмаси)


бу тўпламни тўғри тўртбурчак деймиз, яъни

лар бу тўғри тўртбурчакнинг томонлари деймиз.
билан кўринишдаги барча тўғри тўртбурчаклар системасини белгилаймиз.
ни ўз ичига олган минимал алгебра ( тўғри тўртбурчаклар ҳосил қилган) Борель алгебра дейилади ва билан белгиланади. Унинг тўпламлари Борель тўплам дейилади.
Бу Борель алгебрани бошқача йўл билан ҳам қуриш мумкин.
Қуйидагича тўғри тўртбурчакларни оламиз, лар Борель тўпламлар.
чи ўриндаги даги Борель тўплам тўртбурчакларни системасини ўз ичига олган минимал алгебра
билан белгиланади ва алгебралар тўғри кўпайтмаси дейилади.
Бу иккита минимал алгебралар устма-уст тушади яъни

4. ўлчовли фазо.

яъни -тартибланган сонли кетма-кетликлар. Бу ерда алгебра қуйидагича қурилади.
билан кўринишдаги интервалларни ва билан чи ўриндаги хосил қилган Борель тўпламни белгилаймиз.
Қуйидаги цилиндрик тўпламларни кўрайлик.
(1)
(2)
(3)
бу ерда борель тўплам.
Бу цилиндрик тўпламлар системаси (2), (3) алгебра ташкил қилади.
Барча (1), (2), (3) кўринишдаги тўпламлар ўз ичига олган минимал алгебрани мос равишда ва билан белгилаймиз.
Бу алгебралар ҳам устма-уст тушади.

Asosiy adabiyotlar
1. Ширяев А.Н. Вероятность, M.; Наука, 1980.
2. Невё Ж. Математический основы теории вероятностей. - M.; Мир, 1969.
3. Лоэв М. Теория вероятностей. – М.; Из-во ИЛ. 1962.
4. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. – М. – Л., 1936.


Qo’shimcha adabiyotlar
5. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. – М.; Наука, 1977.
6. Боровков А.А. Теория вероятностей. 3 издание Москва; Наука, 2000 г.