Иккинчи тартибли чизиқларнинг каноник тенгламалари

(4.2) тенглама эллипснинг каноник тенгламаси дейилади. Кўриниб турибдики, (4.2) эллипснинг координата ўқлари билан кесишишидан ҳосил бўлган кесмалар узунликлари 2а ва 2b га тенг. 2а > 2b бўлгани учун Ох ўқ эллипснинг катта ўқи деб, Оy эса кичик ўқи деб аталади.
Э ллипс айланани текис қисиш ёрдамида ҳосил қилиниши мумкин.
айланани кўриб чиқамиз.
Энди текисликни Ох ўқга қараб
қисамиз, яъни шундай алмаштириш
оламизки, бунда (х, y) координатали
нуқта (х, ) координатали
Эллипс
нуқтага ўтади. У ҳолда, кўриниб турибдики, айлана эллипсга ўтади.
Эллипс тенгламасини параметрик кўринишда ҳам ёзиш мумкин:
. (4.3)
Ҳақиқатан, , яъни (4.3) тенглама билан аниқланувчи (х, y) нуқта ихтиёрий  да (4.2) эллипсга тегишли бўлади.  бурчак 0, 2) ярим интервални босиб ўтганда (х, y) нуқта бутун эллипсни босиб ўтади.  бурчак яна ўсиб бораверса, ҳаракат даврий давом этаверади.
Гипербола. Текисликда
(а>0, b>0), (4.4.)
тенглама билан аниқланган чизиқ гипербола дейилади.
бўлсин. Ох ўқда абссиссалари х=-с ва х=с бўлган F₁ ва F₂ нуқталар билан - (4.4) гиперболанинг фокусларини белгилаймиз.
(4.4) гиперболани шундай М(х,y) нуқталарнинг геометрик ўрни сифатида аниқлаш мумкинки, ҳар бир М(х,y) нуқтадан F₁ ва F₂ фокусларгача бўлган масофаларнинг фарқи ўзгармас 2а катталикка га тенг бўлади.
Ҳақиқатан,
,
,
,
с²х²- 2а²сх +а⁴= а² (х² - 2cх + c²)+а² y²,
(а²+б²)х² =а²х² + а²b²+а²y² ,
b²х²-а²y²=а²b² ,
бу ердан (4.4) тенглама ҳосил бўлади.
Лекин бу ерда гиперболанинг фақатгина ўнг шохаси ҳосил бўлади. Чап шохасини ҳосил қилиш учун тенгликдан бошлаш керак.
Тенгламани кўринишига қараб, (4.4) гипербола Ох ва Оy ўқларга нисбатан симметрик эканлигини хулоса қилишимиз мумкин.
Гиперболанинг биринчи чоракда жойлашган қисми тенгламасининг кўриниши қуйидагича:
(а х<). (4.5)
К ўриниб турибдики, гипербола (а, 0) нуқтадан ўтади ва х нинг а,) ярим интервалда ўсиши билан y ордината ўсади ва чексизликка интилади.
Гипербола Ох ўқни кесиб ўтган
А(-а,0) ва В (а,0) нуқталари унинг
учлари дейилади.
(4.5) тенглама билан аниқланган
чизиқни тўғри чизиқ билан
солиштирамиз.
Гипербола
Кўриш қийин эмаски,

бўлади.
Бу эса тўғри чизиқ бу чизиққа нисбатан асимптота эканлигини билдиради. Гипербола ўқларга нисбатан симметрик эканлигидан тўғри чизиқлар (4.4) гиперболанинг х+ ва х- даги асимптоталари бўлади.