Кириш §. Лобачевский ва унинг аксиомалари

Теорема. То`г`ри чизиқлар дастасига тегишли ихтиёрий икки то`г`ри чизиқнинг биридаги нуқтадан иккинчисига тенг ог`ишли фақат битта то`г`ри чизиқ о`тказиш мумкин.
Исботи. 1-ҳол, а,б то`г`ри чизиқлар марказли дастага тегишли бо`лсин. а то`г`ри чизиқдаги ихтиёрий А нуқтани олиб, С нуқтадан бошлаб б то`г`ри чизиқ устига СА гат энг кесма қо`йсак, б да Б нуқта (СА=СБ) ҳосил бо`лади. тенг ёнли бо`лгани учун . Бу бурчакларни то`дирувчилари ҳам о`заро тенг бо`лгани учун АБ то`г`ри чизиқ а, б учун тенг ог`ишли кесувчи бо`лади. Равшанки, А нуқтадан а,б нит энг ог`ишда кесувчи бошқа то`г`ри чизиқ о`тмайди.
2-ҳол. А, б то`г`ри чизиқлар гиперболик дастага тегишли бо`лсин. Бу ҳолда а,б то`г`ри чизиқлар о`заро узоқлашувчи то`г`ри чизиқлар бо`либ, бундай то`г`ри чизиқлар ягона умумий АБ перпендикулярга эгадир, бу перпендикуляр а,б нинг тенг ог`ишли кесувчиси бо`лади. У ҳолда а даги А нуқтадан тенг ог`ишли кесувчини о`тказиш учун Б дан бошлаб б нинг устида (Аˊ́ нуқта Аб нинг қайси томонида бо`лса, шу томонда) ААˊ́=ББˊ́ шарт билан аниқланадиган Бˊ́ нуқтани топамиз. У ҳолда Аˊ́Бˊ́ то`г`ри чизиқ изланган кесувчи бо`лади, чунки Аˊ́АББˊ́ то`ртбурчак Саккери то`ртбурчагидир:

4-§. Тоғри чизиқларга оид айрим масалалар
Таъриф. Агар икки тўғри чизиқ бир текисликка тегишли бўлиб умумий кесишув нуқтаси бўлмаса ёкичексиз узоқ (хосмас) нуқтада кесишса, улар ўзаро параллелтўғри чизиқлардейилади. (35-расм)
Параллел проексияларнинг хоссасига асосан параллел тўғри чизиқларнинг бир номли проексиялари ҳам ўзаро параллел бўлади, яъни а||б бўлса, уҳолда аъ||бъ,а"||б" ва а′"||бъ" бўлади.
Фазодаги умумий вазиятда жойлашган параллел тўғри чизиқларнинг иккита бир номли проексиялари ўзаро параллел бўлса, уларнинг учинчи проексиялари ҳам ўзаро параллел бўлади.¹

35-расм

Аммо тўғри чизиқлар бирор проексиялар текислигига параллел ва уларнинг шу текисликдаги проексиялари берилмаган бўлса, у ҳолда юқорида келтирилган шарт бажарилмайди. Масалан, W текисликка параллел бўлган профил тўғри чизиқ кесмаларнинг бир номли горизонтал ва фронтал проексиялари (р₁ ва р₂) нинг ўзаро параллел бўлиши етарли бўлмайди (36-расм). Бундай ҳолларда тўғри чизиқларнинг профил проексияларини ясаш ва уларнинг параллелигини текшириш зарур. Шунингдек, бу тўғри чизиқларнинг ўзаро вазиятини профил проексияларидан фойдаланмасдан ҳам аниқлаш мумкин.
Бунинг учун:
• тўғри чизиқ кесмаларининг бир номли проексияларининг нисбатлари тенглигини аниқлаймиз. Кесманинг бирор, масалан, Дъ, Д" нуқтасидан ихтиёрий (ўткир бурчак остида) параллел чизиқлар ўтказиб, Дъ1=АъБъ ва Д"2=А"Б" кесмаларни қўйилади
(36- расм). Сўнгра 1 ва 2 нуқталарни С′ ва C" билан туташтирамиз. Агар Cъ1=C"2 бўлса бу тўғри чизиқлар ўзаро параллел бўлади. Акс ҳолда бу тўғри чизиқлар учрашмас тўғри чизиқлар эканлигини исботланади;
• тўғри чизиқ кесмаларининг бир номли нуқталарини ўзаро кесишадиган қилиб тўғри чизиқлар билан туташтирамиз (37- расм). Агар чизиқларнинг кесишиш нуқтасининг эъ ва э" проексиялари бир боғловчи чизиқда бўлса, у ҳолда АБ ва CД тўғри чизиқлар бир текисликка тегишли ва ўзаро параллел бўлади.