|
2-§. Лобачевский тексилигида тоғри чизиқлар
Юқорида абсолют геометриянинг теоремаларидаги 30-теоремага этибор қилсал, унда то`г`ри чизиқ ташқарисида олинган нуқтадан берилган то`г`ри чизиқ билан кесишмайдиган камида битта то`г`ри чизиқнинг о`тиши такидланиб, бироқ шундай то`г`ри чизиқнинг ягоналиги ё`ки ягона эмаслиги то`г`рисида қо`шимча талабнинг қо`йилшига қараб эвклид геометрияси ё`ки Лобачевский геометрияси то`г`рисидаги талимотни ҳосил қиламиз. И-ИВ группа аксиомаларига суянган геометрия бу икки геометриянинг умумий қисмидир. эвклид геометриясида параллеллик аксиомаси қуйидагича ифодаланади.
В. То`г`ри чизиқ ташқарисидаги нуқтадан о`тиб, берилган чизиқ билан кесишмайиган то`г`ри чизиқ биттадан ортиқ эмас.
Бу аксиома билан 30- теоремани назарда тутсак, қуйидаги теорема келиб чиқади.
теорема. То`г`ри чизиқ ташқарисидаги нуқтадан бу то`г`ри чизиқ билан кесишмайдиган фақат битта то`г`ри чизиқ о`тади.
Енди И-В группа аксиомаларига асосланиб, эбклид геометриясини (яни мактабда о`қитиладиган геометрияни) баён қилиш мумкин.
теорема. Учбурчак ички бурчакларнинг йиг`индиси 180 га тенг (31-теорема билан таққосланг).
теорема. Учбурчакнинг ташқи бурчаги о`зига қо`шни бо`лмаган ички бурчакларнинг йиг`индисига тенг (24-теорема билан таққосланг).
теорема. Бир тог`ри чизиқда ё`тмаган учта нуқтадан фақат битта айлана о`тади.
теорема. Айланага ички чизилган мунтазам олтибурчак томони шу айлана радиусига тенг.
Лобачевский геометриясининг аксиоматикаси абсалют геометрия аксиомалари қаторига Лобачевский геометриясини қо`шиш билан хосил барча тариф ва теоремалари о`з кучини сақлайди.
В. Лобачевский аксиомаси. Текисликда то`г`ри чизиқ ташқарисида олинган нуқтадан бу то`г`ри чизиқ билан кесишмайдиган камида иккита то`г`ри чизиқ о`тади.
Шуни такидлаб о`тамизки, то`гри чизиқда ё`тмайдиган нуқтадан унинг билан кесишмайдиган то`гри чизиқ о`тишлигини тасдиқловчи факт абсолют геометрияга тааллуқлидир (И боб, 30-теорема), бу то`г`ри чизиқнинг ягоналигини параллеллик аксиомаси тасдиқлайди.
теорема. Лобачвский текислигида то`г`ри чизиқда ё`тмайдиган нуқтада бу то`г`ри чизиқ билан кесишмайдиган чексиз ко`п чизиқ о`тади.
Исбот. Лобачевский аксиомасига асосан А нуқтадан а то`г`ри чизиқ
билан (14-чизма) кесишмайдиган б ва c то`г`ри чизиқлари о`тсин.
c то`г`ри чизиқда шундай C нуқта оламизки, бу нуқта ва а то`г`ри чизиқ б то`г`ри чизиқ билан аниқланадиган турли ярим текисликларга тегишли бо`лсин. а то`г`ри чизиқда ихтиёрий Д нуқтани олиб, CД то`г`ри чизиқни о`тказсак, бу то`г`ри чизиқ б билан бирор Б нуқтада кесишади, Б нуқта C билан Д орасида ё`тади. БC кесманинг ихтиёрий э нуқтасини олиб, АЕ то`г`ри чизиқни о`тказсак, бу то`г`ри чизиқ а билан кесишмайди. Ҳақиқаттан ҳам< АЕ билан а то`г`ри чизиқ бирор нуқтада кесишади деб фараз қилиб, ДЕФ учбурчак ва б то`г`ри чизиққа нисбатан Паш аксиомасини қо`лласак, а билан б кесишади, деган хулосага келамиз. Бу эса шартга зид.
Демак, БC кесма нуқталари чексиз ко`п бо`лгани учун АЕ га о`хшаш Чексиз ко`п то`г`ри чизиқлар А нуқтадан о`тиб, а билан кесишмайди.
Бешинчи постулатнинг барча эквивалентлари ҳам Лобачевский Геометриясида о`з кучини ё`қотади, Шумладан, учбурчак ички бурчак
3-теорема. Агар учбурчак ички бурчакларининг йиг`индиси 180 дан кичик бо`лса, Лобачевский аксиомаси о`ринли бо`лади.
ИСБОТ, АБ кесманинг учларидан шу кесмага перпендикулар бо`лган а, б то`г`ри чизиқларни о`тказамиз. Абсолют геометриядан малумки, а, б то`г`ри чизиқлар кесишмайди (15-чизма). Б нуқтадан о`тиб, б дан фарқли а билан кесишмайдиган яна битта то`г`ри чизиқнинг мавжудлигини исботласак, мақсадга эришган бо`ламиз. а то`г`ри чизиқда ихтиёрий Д нуқтани олиб, БД нурни о`тказсак ∠АБC= бурчак ҳосил қилинади, со`граа шу бурчакни Б нуқтадан бошлаб, бир томони БД нурдан иборат қилиб қо`ямиз (АБД бурчакдан ташқарига), бу бурчакнинг иккинчи томони БC нур бо`лсин. Шартга ко`ра, АБД учбурчак ички бурчакларнинг йиг`индиси 180 дан кичик бо`лгани учун, яни 90 + +∠АБД 180 ёки , бундан ∠АБC . Бу вақтда БC то`г`ри чизиқ а билан кесишмайди. Аксинча БC то`г`ри чизиқ билан а бирор э нуқтада кесишади деб фараз қилсак, ДБЕ учбурчак ҳосил бо`либ, = ДБЕ= бо`лгани учун, бу шарт 11-§ даги 24-теоремага зидлик қилади. Демак, БC билан а кесишмайди. Ушбу ҳулосага келдик: Лобачевский аксиомаси “учбурчак ички бурчакларининг йиг`индиси 180 дан кичик” деган фаразга эквивалент.
АБC учбурчак ички бурчакларининг йиг`индиси билан белгиласак 180 - айирма мусбатдир, уни АБC учбурчакнинг нуқсони (дефекти) деб аталади ва билан белгиланади.
4-теорема. Учбурчакнинг нуқсони аддитивлик ҳоссасига бо`йсунади, яни (16-чизма) = + .
ИСБОТ. =180 - =180 -( + -180 )= ( - )+(180 - )= + .
5-теорема. Лобачевский текислигида учбурчак ички бурчакларининг йиг`индиси турли учбурчаклар учун турлича қийматга эга, яни о`згарувчи миқдордир.
Ҳар қандай то`ртбурчакни иккита учбурчакка ажратиш мумкин бо`лгани учун қуйидаги иккита натижани чиқарамиз.
Лобачевский текислигида ҳар қандай то`ртбурчак ички бурчакларининг йиг`индиси 360 дан кичик бо`либ, бу сон ҳар хил то`ртбурчаклар учун ҳар хилдир.
Лобачевский текислигида бурчак катталиклари билан чизиқли катталиклар орасида бог`ланиш мавжуд ( буни кейинроқ ко`рамиз).
Do'stlaringiz bilan baham: |
