История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

Лекция № 9


Тема: Позиционные и непозиционные системы счисления: Роль Аль-Хорезми в установлении десятичной позиционной системы счисления.
Системы счисления принято делить на два класса: непозиционные и позиционные.
В непозиционных СС от положения (позиции) цифры в записи не зависит величина, которую она обозначает. Характерным примером такой системы счисления является римская СС.
Например, в римской СС число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.
В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются.
Например:
VI = 5 + 1 = 6, а IV = 5 – 1 = 4.
MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) + (-10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.
Такие системы счисления используются редко, т.к. не приспособлены для вычислений.
На практике наибольшее распространение получили позиционные системы счисления.
Позиционная система счисления – система счисления, в которой значение каждой цифры в изображении числа определяется ее положением (позицией) в ряду других цифр. В каждой позиционной системе счисления имеется основание. Любое число записывается в виде последовательности из цифр основания. Количество цифр основания равно самому основанию. Основание показывает, во сколько раз вес каждой цифры меньше веса цифры, стоящей в старшем соседнем разряде.
Некоторые позиционные системы счисления
Таблица 3.1

Основание	Система счисления	Знаки
	Двоичная	0,1
	Троичная	0,1,2
	Четвертичная	0,1,2,3
	Пятиричная	0,1,2,3,4
	Восьмиричная	0,1,2,3,4,5,6,7
	Десятиричная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
	Двенадцатиричная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В
	Шестнадцатиричная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,D,E,F

Числа, которыми мы привыкли пользоваться, называются десятичными и арифметика, которой мы пользуемся, также называется десятичной. Называются они так потому, что каждое число можно составить из набора цифр содержащего 10 символов (цифр) –0123456789.
Возьмём, к примеру, число 246. Его запись означает, что в числе две сотни, четыре десятка и шесть единиц. Следовательно, можно записать следующее равенство: