История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

Лекция № 10


Тема: Алгоритмы арифметических действий в десятичной системе счисления.
План:
1. Алгоритм вычитания
2. Алгоритм умножения
3. Алгоритм деления
2. Решение примеров.
Алгоритм вычитания
Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначно­го числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что b + с = а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел.
Если же числа а и b многозначные и b < а, то смысл действия вычи­тания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определен­ному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.
Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную раз­ность в таком виде: 485-231 = (4∙10² + 8∙10 + 5)-(2∙10² + 3∙10 + 1). Чтобы вычесть из числа 4∙10² + 8∙10 + 5 сумму 2∙10² + 3∙10 + 1, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда:
(4∙10² + 8∙10 + 5) – (2∙10² + 3∙10 + 1) =
(4∙10² + 8∙10 + 5) – 2∙10² - 3∙10 - 1.
Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2∙10² вычтем из слагаемого
4∙ 10², число 3∙10 - из слагаемого 8∙10, а число 1 - из слагаемого 5, тогда:
(4∙10² + 8∙10 + 5) – 2∙10² - 3∙10 – 1 =
(4∙10² – 2∙10²) + (8∙10 - 3∙10) + (5 – 1)
Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычита­ния и вынесем за скобки 10² и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (4 - 2) ∙10² + (8 - 3) ∙ 10 + (5 - 1). Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4-2, 8-Зи5-1 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2∙10² + 5∙10 + 4, которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким об­разом, 485 - 231 = 254. Выражение (4 - 2) ∙10² + (8 - 3) ∙ 10 + (5 - 1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком: