История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения


Нахождение НОД отрицательных чисел



Download 1,03 Mb.
bet60/60
Sana21.02.2022
Hajmi1,03 Mb.
#40272
TuriЛекция
1   ...   52   53   54   55   56   57   58   59   60
Bog'liq
Лекция1

Нахождение НОД отрицательных чисел


Если одно, несколько или все числа, наибольший делитель которых нужно найти, являются отрицательными числами, то их НОД равен наибольшему общему делителю модулей этих чисел. Это связано с тем, что противоположные числа a и −a имеют одинаковые делители, о чем мы говорили при изучении свойств делимости.
Пример.
Найдите НОД отрицательных целых чисел −231 и −140.
Решение.
Модуль числа −231 равен 231, а модуль числа −140 равен 140, иНОД(−231, −140)=НОД(231, 140). Алгоритм Евклида дает нам следующие равенства: 231=140·1+91140=91·1+4991=49·1+4249=42·1+7 и 42=7·6. Следовательно, НОД(231, 140)=7. Тогда искомый наибольший общий делитель отрицательных чисел −231 и −140 равен 7.
Ответ:
НОД(−231, −140)=7.
Пример.
Определите НОД трех чисел −58581 и −189.
Решение.
При нахождении наибольшего общего делителя отрицательные числа можно заменить их абсолютными величинами, то есть, НОД(−585, 81, −189)=НОД(585, 81, 189). Разложения чисел 58581 и 189 на простые множители имеют соответственно вид 585=3·3·5·1381=3·3·3·3 и 189=3·3·3·7. Общими простыми множителями этих трех чисел являются 3 и 3. ТогдаНОД(585, 81, 189)=3·3=9, следовательно, НОД(−585, 81, −189)=9.
Ответ:
НОД(−585, 81, −189)=9.

Основная теорема арифметики
Любое составное число можно единственным образом представить виде произведения простых множителей.
Каждое натуральное число  представляется в виде  , где  суть простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей. Основная теорема арифметики/рамка Единицу можно также считать произведением нулевого количества простых чисел, «пустым произведением».
Как следствие, каждое натуральное число  единственным образом представимо в виде  , где  — простые числа, и  — некоторые натуральные числа.
Следствия теоремы
Основная теорема арифметики даёт элегантные выражения для наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.
Доказательство
Доказательство основной теоремы арифметики опирается на так называемую лемму Евклида:
сли простое число p делит без остатка произведение двух целых чисел x·y, то p делит x или y. Основная теорема арифметики/рамка
Существование. Пусть n — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если n составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, n тоже является произведением простых чисел. Противоречие.
Единственность. Пусть n — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть p — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если p входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на p и получить два разных разложения числа n/p, что невозможно. А если p не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на p, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.
Download 1,03 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   52   53   54   55   56   57   58   59   60




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish